复变函数期末考试题大全(东北师大)

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一、填空题（每小题2分）

1、复数i 212--的指数形式是

2、函数w =

z

1将Z S 上的曲线()1122

=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是

3、若01=+z e ,则z ＝

4、()i

i +1=

5、积分()?

+--+i

dz z 22

22=

6、积分?==1sin 21z dz z

z

i π 7、幂级数()∑∞

=+0

1n n n

z i 的收敛半径R=

8、0=z 是函数

z

e z 1

11-

-的 奇点 9、=???

?

??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α

1=（ ）

A 无意义

B 等于1

C 是复数其实部等于1

D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）

A i i 2<

B 零的辐角是零

C 仅存在一个数z,使得z z -=1

D iz z i

=1

3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛

D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ）

A

i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2

321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）

A z

1sin 1

B z 1cos

C z

ctg e 1

D Lnz

6、下列积分之值不等于0的是( )

A ?=-123z z dz

B ?=-12

1z z dz

C

?=++1242z z z dz

D ?=1

cos z z dz

7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）

A ()∑∞

=+-02121n n n

n z （z <1） B ()∑∞

=+-0

1221n n n n z

（z <1）

C ()∑∞

=++-012121n n n

n z （z <1） D ()∑∞=-0

221n n n n z

（z <1）

8、幂级数n n n z 20

1)1(∑∞

=+-在1<z 内的和函数是（ ）

A

211z - B 211z + C 112-z D 2

11

z

+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()

=-?dz i a z

z C

2

cos （ ）

A 0 B

e

π

2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（ ）

A )1(1>--=a z a a z e w i β

B )1(1<--=a z

a a

z e w i β

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C )1(>--=a a z a z e

w i β

D )1(<--=a a

z a

z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,2

2

z z =成立

2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点

3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内

4、（ ）z=∞是函数()=

z f ()

2

5

1z z

-的三阶极点

5、（ ）解析函数的零点是孤立的

四、计算题（每小题6分）

1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值

2、计算积分?=--22

)1(2

5z dz z z z 3、将函数()1

1

+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围

4、计算实积分I=?∞

+++0

222

)

4)(1(dx x x x

5、求2

11

)(z

z f +=

在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换

()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L

五、证明题（每小题7分）

1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析

（2）在某一点D z ∈0有0)(0)

(=z f

n ，（Λ,2,1=n ）

证明：)(z f 在D 内必为常数

2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根

一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 i e

π6

5

4-，2 2

1=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0,Λ2,1±±)， 4 ???

??+-ππ

k i e e 242ln (k=0,Λ2,1±±)

5 3i -,

6 0 ,

7 2

1 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1

-

二 单选题（每小题2分，共20分）

1 D

2 D

3 A

4 A

5 B

6 B

7 C

8 D

9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）

1? 2 ? 3 ∨ 4 ∨ 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分）

1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3Λ分 y x v u = y dx ay x 22+=+

x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分

解得:1,2-====c b d a 6Λ分

2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0

及二阶极点z=1 2Λ分

2)1(25)(Re 0

2

-=--=

==z z z z z f s

22

25)(Re 1

2

1

1==

'

??

?

??-====z z z z z z z f s 分5Λ

?

=--22

)1(2

5z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6Λ分

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3 解：()1

1

+-=

z z z f = ()n

n n

z z z 12112

11111

2

10-??? ??--=-+-=+-

∑∞

= …4分 （1-z <2） …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个

一阶极点i,2i …1分

I=?∞+∞-++dx x x x )

4)(1(21222

…2分 =[

])(Re )(Re 221

2z sf z f s i i

z i z ==+π …3分

=]i

z i

z i z z z z i z z i 22

2

2

2

)

2)(1()4)((==+++???++π …5分

=

6

π

…6分 5 解：)

)((1

)(i z i z z f +-=

…1分

=

i

z i i z -+

-211)(1

2

…3分

=

∑∞

=---0

2

)()2()1()(1

n n

n

n

i z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=k

i

z i

z +- …… 此处隐藏：21291字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……