导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 ——高考专项研究

戴有刚2011年12月20日

第一部分：历届导数高考压轴题

1.2006年全国2理

设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所 有的 x≥0, 都有 f(x)≥ax 成立， 求实数 a 的取值范围.

2.2006全国1理

1 x ax e . 已知函数 f x 1 x(Ⅰ)设 a 0 ,讨论 y f x 的单调性； (Ⅱ)若对任意 x 0,1 恒有 f x 1 , 求 a 的取值范围.

3.2007全国1理

设函数 f ( x) e e .x

x

(Ⅰ)证明： f ( x ) 的导数 f ( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax , 求 a 的取值范围.

4.2008全国2理

sin x 设函数 f ( x) . 2 cos x(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间； (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax , 求 a 的取值范围.

5.2008辽宁理ln x ln x ln( x 1) . 设函数 f ( x) 1 x⑴求 f ( x ) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解 集为 (0, ) ? 若存在 , 求 a 的取值范围 ;若不存在 , 试说 明理由.

6.2010新课标理

设函数 f ( x) = e 1 x ax .x 2

(Ⅰ)若 a 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围.

7.2010新课标文

已知函数 f ( x) x(e 1) ax .x 2

(Ⅰ) 若 f ( x ) 在 x 1 时有极值， 求函数 f ( x ) 的解析式； (Ⅱ)当 x 0 时， f ( x) 0 ,求 a 的取值范围.

8.2010全国大纲理

设函数 f ( x) 1 e .

x

x (Ⅰ)证明：当 x 1 时， f ( x ) ; x 1 x (Ⅱ)设当 x 0 时， f ( x) ,求 a 的取 ax 1值范围.

9.2011新课标理

a ln x b , 曲 线 y f ( x) 在 点 已 知 函 数 f ( x) x 1 x

(1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 .(Ⅰ)求 a 、 b 的值；

ln x k , ( Ⅱ)如果当 x 0 ,且 x 1 时， f ( x ) x 1 x求 k 的取值范围.

10.自编

自编：若不等式 sin x x ax 对于 x (0,3

2

)

恒成立，求 a 的取值范围.

第二部分：泰勒展开式

泰勒展开式2 3 n n 1 x x x x x 1. e x 1 e x , 1! 2! 3! n! (n 1)!

其中 (0 1) ;n x 2 x3 x ( 1) n 1 Rn , 2. ln(1 x) x 2! 3! n!

n 1 x 1 n 1 n 其中 Rn ( 1) ( ) ; (n 1)! 1 x

泰勒展开式2 k 1 x3 x5 x 3. sin x x ( 1)k 1 Rn 3! 5! (2k 1)! 2 k 1 x 其中 Rn ( 1) k cos x ; (2k 1)! 2 k 2 x2 x4 x 4. cos x 1 ( 1)k 1 Rn 2! 4! (2k 2)!

x 其中 Rn ( 1) cos x ; (2k )!k

2k

第三部分：新课标高考命题趋势及方法