直线和圆的复习

课

题

直线和圆的复习

教学目的

1. 掌握平面直角坐标系上的直线和直线的性质； 2. 掌握直线和圆，圆和圆的位置关系。

教学内容

●知识梳理 知识梳理圆的标准方程： 圆的标准方程： ( x a ) + ( y b) = r2 2 2 2 2

, 圆心为 C ( a, b) ,半径为 r2 2

圆的一般方程： 圆的一般方程： x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E 4 F > 0 ) (1) 当 D + E 4 F > 0 时，方程(*)表示的轨迹为圆心 ( 2 2

D E 1 , ) ,半径为 r = D 2 + E 2 4 F 的圆； 2 2 2

(2) 当 D + E 4 F = 0 时，方程(*)表示一个点 ( 2 2 2 2

D E , ) ; 2 2

(3) 当 D + E 4 F < 0 时，方程(*)无解，无轨迹图形. 由此可知，当且仅当 D + E 4 F > 0 时，方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 是圆的方程.2 2

圆一般方程的代数特点： 圆一般方程的代数特点： ① x 、 y 2 项的系数相同 、没有 xy 项 ； ② D、E、F 是 3 个参量，因此只需 3 个独立的条件就可以列出一个三元一次方程组，解出未知数 D、E、F ,得 到圆的一般方程，这与圆标准方程中的 3 个参量 a、b、r 意义上不同，但在代数方程中本质上完全相同.2

D 2 + E 2 4F > 0 典型例题例 1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在 C (3,4) ,半径为 5 ;

(2)经过点 P (5,1) ,圆心 C (8, 3) .

(3)直径的两个端点为 A(3,-2)和 B(-1,6)

(4)求以 C(-1,2)为圆心，并且和直线 2x-3y-5=0 相切的圆的方程.

例 2.判断下列方程是否表示圆，并说明理由。 (1) x 2 +y 2 -2x-4y+6=0

(2) x +y -2x-4y=0

2

2

(3) x 2 +y 2 -2x-4y+5=0

例 3.根据下列条件，求圆的方程： 1、 过原点 O (0,0) 和点 A(3, 1) ,且在 y 轴上截得的弦长为 2 ;

2、 过点 A(5,2)和 B(3,2) ,且圆心在直线 2 x y 3 = 0 上.

3、 求经过 A(1,0) ,B(3,0) ,C(2,2)三点的圆的方程。

1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置 关系满足以下关系： 相切 d=r Δ=0 相交 d<r Δ>0 相离 d>r Δ<0

2、圆与圆的位置关系 、设两圆的半径分别为 R 和 r,圆心距为 d,则两圆的位置关系满足以下关系： 外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 R-r<d<R+r 内切 d=R-r 内含 d<R-r

例题分析2 2 (1)求过点 P 的圆的切线方程； 例 1 过⊙:x +y =2 外一点 P(4,2)向圆引切线， (2)若切点为 P1,P2,求过切点 P1,P2 的直线方程。

y

P(4,2)P1

O

x P2

2 2 例 2.已知直线 L : 2mx y 8m 3 = 0 和圆 C : x + y 6 x + 12 y + 20 = 0 ; (1) m ∈ R 时，证明 L 与 C 总相交。 (2) m 取何值时， L 被 C 截得弦长最短

,求此弦长。

2 2 例 3.已知圆 C1 : x + y + 2 x + 2 y 8 = 0 与

C2 : x 2 + y 2 2 x + 10 y 24 = 0 相交于 A, B 两点，

(1)求公共弦 AB 所在的直线方程； (2)求圆心在直线 y = x 上，且经过 A, B 两点的圆的方程； (3)求经过 A, B 两点且面积最小的圆的方程。

例 4. 过点 ( 2,2 3 ) 且与圆 x + y = 4 相切的直线的方程。2 2

变式：过点 ( 3,4) 且与圆 x 2 + y 2 = 25 相切的直线的方程。

2 2 例 5. 已知直线 l:x+y=0,圆 C: x +y -6x-2y-15=0,求直线 l 被圆 C 所截得的线段的长。

2 2 变式： 变式：已知直线 l:x-y-4=0,圆 C: (x-2) +(y-1) =4, 求直线 l 被圆 C 所截得的线段的长。

2 2 例 6.过圆 O: x + y = 16 外一点 M(2,-6)作直线交圆 O 于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 C 的轨迹.

变式：从定点 A(6,8)向圆 x + y = 16 任意引一条割线交于圆 M,N 两点，求 MN 中点 P 的轨迹方程。2 2

课堂小结： 课堂小结：

课堂练习： 课堂练习：一、选择题 2 2 2 1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x +y -2ax+4y+a -12=0 总有两个不同交点，则 a 的取值范围是( A.-3<a<7 B.-6<a<4 C.-7<a<3 D.-21<a<19 2 2 2.圆(x-3) +(y-3) =9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 3.使圆(x-2) +(y+3) =2 上点与点(0,-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5,1) B.(3,-2) C.(4,1)2 2

)

D.( 2 +2, 2 -3) )

4.若直线 x+y=r 与圆 x +y =r(r>0)相切，则实数 r 的值等于(

A.

2 2

B.12 2

C. 2

D.2

5.直线 x-y+4=0 被圆 x +y +4x-4y+6=0 截得的弦长等于( A.8 B.4 C.2 2

) D.4 2

二、填空题 2 2 6.过点 P(2,1)且与圆 x +y -2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 . 2 2 2 2 7.设集合 m={(x,y)x +y ≤25,N={(x,y)|(x-a) +y ≤9},若 M∪ N=M,则实数 a 的取值范围是 2 2 8.已知 P(3,0)是圆 x +y -8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 在直线方程是 . 三、解答题 2 2 9.已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点，若 OP⊥ OQ(O 是原点),求 m 的值.

。 ,过点 P 的最长弦所

10.已知直线 l:y=k(x-2)+4 与曲线 C:y=1+ 4 x 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围.2

1.B

2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2 或 3x-4y-2=0

7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0,x-y-3=0 9.m=3

10.(

5 3 , ) 12 4

(06 年上海)2.已知圆 x -4 x -4+ y 2 =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是

2

.

课堂小结： 课堂小结：

课后作业： 课后作业：2 2

1.圆(x-3) +(y+4) =2 关于直线 x+y=0 的对称圆的标准方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+3) +(y-4) =2 B.(x-4) +(y+3) =2 2 2 2 D.(x-3) +(y-4) =2 C.(x+4) +(y-3)=2 2 2 2.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部，则实数 a 的取值范围是( A.|a|<1 B.|a|<

)

C.|a|<

1 122 2

1 5 1 D.|a|< 13)

3.关于 x,y 的方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要

条件是( 2 2 A.B=0,且 A=C≠0 B.B=1 且 D +E -4AF>0 2 2 2 2 C.B=0 且 A=C≠0,D +E -4AF≥0 D.B=0 且 A=C≠0,D +E -4AF>0 4.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(

14 ,5) 3

B.(5,1)

C.(0,0)

D.(5,-1)

2 2

5.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x + =4 的内部，则 k 的范围是(

)

1 A.<k<-1 5 1 C.<k<1 3

1 B.<k<1 5D.-2<k<2

二、填空题 2 2 6.圆 x +y +ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 . 2 2 2 7.若方程 a x +(2a+3)y +2ax+a+1=0 表示圆，则实数 a 的值等于 2 2 8.直线 y=3x+1 与曲线 x +y =4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是

. .

三、解答题 9.求圆心在直线 2x-y-3=0 上，且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程.

2

2

10.光线 l 从点 P(1,-1)射出，经过 y 轴反射后与圆 C:(x-4) +(y-4) =1 相切，试求直线 l 所在的直线方程.

1.B

2.D

3.D

4.D

5.B

6.(-

a a ,0), 2 2

7.-1

8.(-

3 1 2 2 , ) 9.(x-2) +(y-1) =10 10.3x+4y+1=0 或 10 10

4x+3y-1=0