1-1复数及其运算

复变函数的应用背景世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。

像微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。1

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20世纪

16世纪，解代数方程时引入复数。 17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形 18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何 、物理意义。 19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质。 20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质 、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等 方面有重要成果。 2

空气 动力学

流 体力 学 复变函数论

电 学

热 学

复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。3

1) 从解代数方程开始，例 如 : 方程 x2 1 0 在实数范围内无解 ; 人们引入复数。

Gauss用复数理论证明了代数基本定理。 sin x 2) 应用于积分的计算, 如 dx。 2 0 x ( x 1) u u 3) 应用于求解偏微分方程 ，如： 2 2 0, x y2 2

具体用在平面稳定流动 (水、空气等的流速与 时间几乎无关)。4

4)应用于计算绕流问题中的压力、力矩。最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。 5)应用于计算渗流问题。 例如：大坝、钻井的浸润曲线。 6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。

例如：热炉中温度的计算。5

7)Laurent级数应用于数字信号处理。

利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。8)积分变换也是复变函数的重要应用。

积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。9)Laplace变换可以求解微积分方程。

例如：RLC (电阻、电感、电容)串 联电路接上 电压 E 的直流电源，求电流 . di 1 t Ri L i ( t )dt E dt C 06

10)Laplace变换应用于控制问题。 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与输出量的Laplace变换之比。

11)Fourier变换应用于频谱分析。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系 进行分析。 12)Fourier变换应用于信号处理。

随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在 频率域中的处理要方便得多。7

复变函数课程的主要内容1 23 4 5 6

引论 解析函数复积分 级数 留数及应用 共形映射8

第一章 复数与复变函数§1-1 复数及其运算

§1-2§1-3

复平面上的曲线和区域复变函数与整线性映射

§1-4

复变函数的极限和连续性

§1-1 复数

及其运算一Δ 、复数的概念及其几何表示二Δ 、复数的代数运算

三* 、(扩充)复平面与复球面 注：标记Δ 为掌握内容，标记*为了解内容。10

一、复数的概念为了解方程的需要，例 如 : 方程 x 2 1 0在 实数范围内无解 , 人们引入了一个新数i , 称为虚数单位.

对虚数单位,作如下规定:

(1) i 2 1;( 2) i 可与实数一起按同样的法则进行四则运算.

复 数形如 z x yi 或 z x iy 的数称为复数 . 其中 x , y 为实数，分别称为z 的实部和虚部 , 记作 x Re( z ), y Im( z ).

当 x 0, y 0 时, z yi 称为纯虚数;当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数x .12

复数相等的概念定义:设复数 z1 x1 y1i 复数 z2 x2 y2i则 z1 显然有

z2 x1 x2且y1 y2z 0 z 0

z1 z2 0 z1 z2 且arg z1 arg z2 注：非实数的复数不能比较大小。 13

例 1 实数m 取何值时 , 复数

(m 2 3m 4) (m 2 5m 6)i是(1)实数; ( 2)纯虚数.

解

令2

x m 3m 4,2

y m 2 5m 6,

(1) 如果复数是实数 , 则 y 0,

由m 5m 6 0知 m 6 或 m 1.( 2) 如果复数是纯虚数 , 则x 0且y 0,

由m 2 3m 4 0知m 4或m 1.但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.14

共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为 z .

即：若 z x iy, 则 z x iy.例 2

计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积.( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .

解

因此：两个共轭复数z , z 的积是一个实数.15

二、 复数的表示方法(1)定义表示法

用 x iy 表示复数 z , 即 z x iy.

给定复数 z x iy ,则确定了实部 x和虚 部y;反过来，给定实部 x和虚部y , 则完全确定 了复数z , 这样，复数z与一对有序实数( x, y) 构成了一一对应关系。因此，x iy 与(x , y ) 不加区别.16