初中数学动态几何问题探讨

中考题的一个常见题型----动态几何问题探讨

一、课题内容：

初中动态几何问题研讨

二、问题梳理

1、动态几何问题是初中数学中教与学的一个重点和难点，也是中考命题中经常考查的内容。动态几何一般是指在一个几何图形的背景下，由点、线等简单图形通过在运动过程中构成新的几何图形，由此而产生的问题。

2、动态几何问题一般包括题型：点动、线动、图形动等类型，其核心是函数知识，不仅包括空间观念、应用意识、推理能力等内容，而且体现了运动观点、方程思想、数形结合思想、划归思想和分类思想等数学思想，同时还包含解方程、相似三角形、三角函数和整式运算等知识，故要求具有较强的分析、推理、计算综合解决问题的能力。

3、动态几何问题最突出的特点就是图形是运动的、变化的，解决动态问题时：首先需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变；其次，考虑问题要全面化，经常会遇到分两种或多种情况来解决的问题，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉，例：说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角，说到等腰三角形的边要考虑是底边还是腰；其三，将几何图形简单化，学会利用几何图形来分散难点、降低难度，并从特殊位置点着手确定自变量取值范围；第四，动态试题作为选拔性试题难度较大，但入口容易。

三、实现目标

1、让学生具有能分析动态问题的思路，不再对几何动态问题感到陌生，增强学生解题的自信心

2、让学生理解并掌握数形结合的解题思想与解题技巧

3、培养学生具备全面分析问题的能力，掌握知识的连贯性和多面性

四、教学重难点

1、重点：用浅显易懂的语言教会学生分析动态几何问题 2、难点：培养学生将动态问题转化为静态问题的思维模式

五、典型例题透析

例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设

PB的长为x 。

（1）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四

边形为直角梯 形；（2）当x的值为_____时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成

中考题的一个常见题型----动态几何问题探讨

菱形？试说明理由

【分析】 （1）注意P点的位置，如图１，过点A作ＡＰ1⊥ＢＣ交ＢＣ于点Ｐ1过点Ｄ作ＤＰ2⊥ＢＣ交ＢＣ于点Ｐ2，满足条件的点应有两个

（２）注意Ｐ点的位置，如图２，过点Ａ作AP3∥ＤＥ，

12

交ＢＣ于点Ｐ3，过点Ｄ作ＤＰ∥ＡＥ交ＢＣ于点P4满足条件的点应有两个

3

（3）由（2）可知，当ＢＰ＝１１时，以点P、A、D、Ｅ为顶

点的四边形是平行四边形，通过计算可知，此时ＤＰ＝５＝ＡＤ，所以四边形ＡＥＰＤ是菱形

【解】（略）

注：【方法与规律】

１、在探讨图形的形状时，一定要抓住图形的已有特征，添加不足的部分，如（1）中的四边形APED已经是梯形，要成为直角梯形，只需添加腰垂直于底边即可，（2）中四边形APED已有AD∥PE，要成为平行四边形，只需添加另一组对边平行或AD=PE即可； ２、对存在性的探讨，注意其特殊性，同时注意各小题之间是独立的关系，还是从属的关系，如（3）中四边形APED要成为菱形，它必须是平行四边形，故只需讨论（2）中的两种特殊情况即可；

3、应注意点的运动方向和位置，以防漏解。

例２、（2010遵义）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点（点A在B点Ｂ的右侧），点Ｐ是该抛物线上一动点，从点Ｃ沿抛物线向点Ａ运动（点Ｐ与点A不重合），过点P作PD∥ｙ轴，交AC于点D。

y（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ＡＤＰ是直角三角形时，求点Ｐ的坐标； (0,3)（3）在问题（2）的结论下，若点Ｅ在ｘ轴上，点Ｆ在抛物线上，问是否存在以点A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】

P

4

x

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（1）利用抛物线的顶点式:y=a（x+h）+ k (a≠0)很容易求出函数关系式为： y=x2-

2

4x+3.

（2）要解决第二个问题，首先，由于点P是从点C沿抛物线运动到点Ａ，从直观上判断，有哪些点能使△ＡＤＰ为直角三角形？其次，注意直角顶点的可能性，可判断出分两种情况：

①当点Ｐ1为直角顶点时，点Ｐ1与点Ｂ重合，如图所示 令ｙ＝0，得x2-4x+3＝0，可解得：ｘ1＝１，ｘ2＝３ ∵点A在点Ｂ的右边

∴Ｂ（１，０），点Ａ（３，０）∴点Ｐ1（１，０） ②当点Ａ为△ＡＰＤ2的直角顶点时，如图所示 ∵ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＣ＝９０0 ∴∠ＯＡD2＝４５0

当∠D2AＰ 2＝９０0时，∠ＯＡＰ2＝４５0，∴ＡＯ平分∠ＤＡＰ 又∵P2D2∥ｙ轴，∴P2D2⊥ＡＯ，∴P2、D2关于X轴对称

设直线AC的函数关系式为:y=kx+b,将A（3，0），C（0，3）代入上式得：k=-1，b=3

∴y=-x+3

∵D2在y=-x+3上，Ｐ2在y=x2- 4x+3上 ∴D2（x，-x+3），Ｐ2（x，x2- 4x+3） ∴（-x+3）+（x2-4x+3）=O,即x2-5x+6=0, ∴ｘ1＝2，ｘ2＝3(舍去)

∴当ｘ=2时，y=x2-4x+3=22-4*2+3=-1

∴Ｐ2的坐标为Ｐ2（2，-1）（即为抛物线的顶点） ∴Ｐ点的坐标为Ｐ1（１，０），Ｐ2（２，-１）

y

(0,3)x

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（3）由题（2）知，当点Ｐ的坐标为Ｐ1（１，０）时，点Ａ、Ｐ、Ｅ在一条直线上，故不能构成平行四边形；

当点P的坐标为Ｐ2（２，-１）（即顶点Ｑ）时，平移直线ＡＰ交想Ｘ轴于点Ｅ，交抛物线于点Ｆ

当ＡＰ＝ＦＥ时，四边形ＰＡＦＥ是平行四边形 ∵Ｐ（２，-１）

∴可设Ｆ（x，１）∴x2-4x+3＝１，解之得：ｘ1＝2-2，ｘ2＝２+2 ∴Ｆ点有两点，即Ｆ1（2-2，１）Ｆ2（２+2，１）

【方法与规律】：

１、注重直观性；（2）中根据题目已知条件，∠PDA不可能为直角；2、注意特殊（2）中∠ABD为直角；3、结合特殊性，研究一般性；（2）中由于∠CAO=４５0，再使∠CAP=

９０，则 ∠BAP=４５，可以求出直线AP的解析式，再求出AP与抛物线的交点即可。

六 、拓展训练

注：请学生根据对上述两道题的研究思想分析和讨论以下三个问

题：

1、如图所示，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交X轴于E、D两点（D点在E点的右方）

（1）求点E、D的坐标

（2）求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式

（3）过Ｂ、Ｃ、Ｄ三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q的坐标

B

2、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部

50

门规定汽车的最高行驶速度不超过60千米/时（即米/秒），并在离该公路100米处

3设置了一个监测点A。在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴

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上，点B在A的北偏西600方向上，点C在A的北偏东450方向上，另外一条高等级公路在y上，AO为其中的一段。

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