一类矩阵的稳定性及其稳定性分解_周富照

第

12

卷年

第3期9

长

沙

交

通

学

院

学

报

V o l

.

12 N o

.

3

199 6

月

JO U R N A L O F C H A N G S H A C O M M U N IC A T IO N S U N I V E R S IT Y

e t S P

199 6

一类矩阵的稳定性及其稳定性分解周富照(长沙交通学院基拙科学部

长沙

1 4,

00 7 6 )

〔提

要〕给出了一类矩阵稳定的一些充要条件并讨论了这类矩阵的稳定

性分解

。

:关锐词稳定矩阵;大系统;稳定性分解:中图分类号 0

151 52

.

考虑线性自治大系统及其两个子系统:

:

dX/ dt(‘ ) (2 )

=

AX

(1 )(1 )(2 )、宁了、了扭

dX dX

/dt/dtA,

AA22

ll 22

x x

八勺」‘

A==

AA L;

:, Z,,

A A,

‘, 22,

)x

。 1r

*

二

n

,

A

11

‘尺“r

‘ r,

任尺(

”一 r

)

x

(

”一 r

);

x

=

o C l (x

z

,

x

Z,

…

,

x

。

);

o ( C lx

x Z

…

); x

(2 )=

o c l(x

+

1

,

…

x

。

)

O

1 )根据文献【〕系统 (l零解的稳定性由矩阵,,,

A

的特征值 (即。

A

的稳定性 )所决定,

。

对一

般矩阵的稳定性文献【给出了一个充要条件即赫维茨定理] l定性分解中提出的一类矩阵为,

由文献【知在大系统的稳] li笋 j)。

A

=

(a )任 R j i。

”

x

”,

i其中 a,

‘

< 0

,

( j i a ) 0

对这类矩阵稳定,

性的判定传统办法是利用赫维茨定理

大家知道赫维茨定理结论相当简洁实施时工作量。

却相当庞大,

。

特殊类矩阵应有特殊的判定稳定性的方法、

本文主要讨论了这类矩阵稳定的一。

)些新判据且研究了系统 (l与其子系统 (2 ) (3零解稳定性的关系 ) 1

记号与引理

Z

月 x

”

=

{A=

=

(a下了了、 .、

。a

)斤R。。

”

x

”,

a

。a

簇o。

,

i并 j},

NZSZ

”

减”

A A

)任RA

”

x

”,

) o,

￡ j}笋 i护 j;一

丹 X

月

一”“

a

)任R

”

“”,

a

。,

) o

a“,

< o

}一

定义

1

设 A任Z:

”,

若

非奇异且

A

‘

) O则称 A为 M

阵

。

收稿日期

19 95

年

11

月

1日

长

沙

交

通

学

院

学

报

第 12卷

定义

2

设

A任R

” x

”,

若满足=

}a i

‘

{>

习… d,,

I a。 ‘一 1 2 (,

,

…

,

,

)则称 A为严格对角占,

优阵;若存在正对角矩阵 D为广义对角占优阵。

i g d a (d

,

,

d

Z,

)使A,

=

D

一

I

AD

为严格对角占优阵则称

,

A

定义定义,

34

若

A

的特征值的实部全为负则称” x”,

,

A,

为稳定矩阵i*

。

设 A任R

取自 A的第 11,

,

12’

,

…

行和第 i

,

,

12

,

…

,

*￡

列交错处

元素构成的

矩阵称为 A的 k阶主子阵记为,

A

1 1

艺2”

i几

1 1

1 2“、

‘

i几。

非负矩阵零解稳定性定义见文献: )引理 l幻设 A任 z[ n则下列命题等阶 (l“”,

2〔]

1【]

A

是M

一

2阵; ( ) A的每一特征值的实部X> 0,

3全“正;‘,‘一 A

引理

2

设 A任NZ

:}:

1

2

’

.

‘

i泛

> 012二”‘

,

k= 1 2,

,

…

,

)川 (4存在正向量

使

AX>

o 0为M一

i尧”,

x

记

B=

一

A,

,

: ) )则下列命题等阶 (l A为稳定阵; (2

B

一

阵;的

一 3‘’‘‘‘d一 A’

:::…:1,

艺正

二z鑫

1 2

,

…。

,

n

。

注意到若

:

又是 A

的特征值则

,

几是B

特征值

。

容易由引理2

得到本引理的证明” x”,

由引理

可知若 A任NZ (一

则 A稳定的充要条件是

:

1 )乏d e t A

引理

3

设

A任NZ:

”

又”

,

记

A=

为稳定阵的充要条件是

A

,,

与”,

B= A

:]{:: 0>艾{义{,

,,, k= 1 2…,

n

。

其中,2

A

小A

22

为方阵。

,

A

小A

Z:

为矩阵则 A,

Z:一

A

Z,

A

l I’A一

均为稳定阵一

证明定理1

记 C,

二一

A任z一

” x

由引理 2知一

A;,

稳定的充要条件是 C为 MB=

一12

阵

。

而文献〔中] 3一

告知2

C为M

阵的充要条件是。

A

与

(A

Z:一

A

Z,

A

矿A

)均为 M,,

阵再稳定

,

由引理,

得本命题成立,

由引理 3可知当引理 4稳定阵D一。

A任N Z

”

x

”

时,

,

A。

的稳定性判定可以转化为两个低阶矩阵 A‘ (为广义对角占优阵且久< 0,, i二 1 2,

与,

B

性判定这从理论与实用上都是意义的设 A=

(a )任 R j i

” x

”

若

A

…

,

1‘

)则 A为 )使入=,

证明’

由A为广义对角占优阵则存在正对角阵 D,,

=

i g d a (d

l

,

内…

,

,

d,

。

AD

为严格对角占优阵易知入与,

A

有相同的对角元即入的对角元全为负由文献【] 5,,

知入为稳定阵而2

A

与入有相同的特征值因此

A

为稳定阵

。

主要结果定理1

设 A记B

二

(。。 )任A。

Z s

”

x

”,

则

A

:稳定的充要条件是 A为广义对角占优阵

。

证明

二一