北航空气动力学课件第3章

北航空气动力学课件

第3章§ 3.1 § 3.2

理想不可压缩流体平面位流理想不可压缩流体平面位流的基本方程 几种简单的二维位流直匀流 点源 偶极子 点涡直匀流加点源 直匀流加偶极子 直匀流加偶极子加点涡

§ 3.2.1 § 3.2.2 § 3.2.3 § 3.2.4

§ 3.3

一些简单的流动迭加举例

§ 3.3.1 § 3.3.2 § 3.3.3

§ 3.4

二维对称物体绕流的数值解

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本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规 律。 在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四 个方程和四个未知函数(u,v,w,p),理论上是可 解的

由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复 杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非 常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方 程中速度与压强相互耦合，需要一并求出2/65

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人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化 ，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因 为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方 程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而 压强可利用伯努利方程求解 本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得 一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行 叠加得到满足非常简单边界条 件的流动。对复 杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值 解法大意3/65

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§3.1 平面不可压位流的基本方程1. 位函数φ 及流函数 ψ 所满足的方程 有无旋条件，就有位函数φ 存在，并且位函数与速度分量 之间满足： v u y x 平面流动的连续方程是： u v 0 x y

结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：

2 2 2 0 2 x y该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程 ，给定适当边界条件方程是容易求解的。4/65

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对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为： u v 0 x y

u v 或： x y

数学上这是使 vdx udy 成为某个函数ψ 的全微分的 充要条件 ，即

d vdx udy 其中： v x

dx dy x y

u y5/65

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代入无旋条件：

v u y y 2 2 2 0 2 x y

也满足拉普拉斯方程：

这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。

位函数与流函数的关系称为柯西-黎曼条件： , x y y x6/65

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2. 叠加原理

拉普拉斯方程可用算子 ▽2 表为 ▽2φ =0。它是 个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。 所谓叠加原理是说如果有 1 , 2 ,..., n 分别满足 拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足 拉普拉斯

方程： a1 1 ... an n 此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性 的因此也满足叠加原理： n 1 u a1 ... an a1u1 ... anun x x x

而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理7/65

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数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找 一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找 一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位 函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯 努利方程求解压强分布。 3. 边界条件 边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通 常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内 边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。8/65

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按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型： (1)第一边值问题(狄利希特问题):给出边界上位函 数自身值

(2)第二边值问题(诺曼问题):给出边界上位函数的法向导数值 (3)第三边值问题(庞卡莱问题):给出部分边界上位 函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值 气动问题大多数属于第二边值问题9/65

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将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处， 速度为 V∞ ,内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面 法向速度为零 外边界 V x 0 y z

V

内边界

0 n

n为物面法向

可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上 述条件，则解是唯一的 求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉 普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题

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位函数Φ 的性质小结 (1)速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差 任意常数而不影响流动。

(2) 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向 的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。(3) 对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足 拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭 加原理。11/65

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(4) 速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速

度方向垂直于等位线。 (5) 连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度 位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于 两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。

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流函数Ψ 的性质小结

(1) 流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数 值可以差任意常数而不影响流动。(2) 等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向 与速度矢量方向重合。 (3) 对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普 拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。

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(4) 等流函数线与等位线正交。

由 C1 , 由 C2 , 可得 : vdx udy 0, 斜率K1= v u u v

可得 : udx vdy 0, 斜率K 2=

故：K1K 2=- 1

(5) 平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的 流量。 dy dx V ui vj i j, n i j y x ds ds B B B Q (V n )ds dy dx d B A A A y A xy

B ds A

V

nx14/65

o

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位函数 Φ 和流函数 Ψ 之间满足柯西-黎曼条件：

笛卡儿坐标： x y 极 坐 标： r r

y x r r

速度分量与位函数和流函数之间的关系是：笛卡儿坐标： u 极 坐 , x y 标： Vr , r r v y x V r r15/65

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§3.2 几种简单的二维位流§3.2.1 直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为

u a

v b ay bx c

流动是无旋的，由速度位全微分

d adx bdy积分可得位函数：

ax by又可求出流函数：

ax by c'

ay bx16/65

流线与等位线是正交的如图EXIT