教学文库网 - 权威文档分享云平台
您的当前位置:首页 > 文库大全 > 实用文档 >

江苏省高等数学竞赛积分试题

来源:网络收集 时间:2026-07-14
导读: 积 分 计 算 不定积分 1. 1 x1x2exdx x2exdx x x2exdx; x1 xx2exdx xde 1x x 1x2exdx,所以 1 xx2ex dx 1 xex C 2. 1 xx2exdx 1x 2 exdx 1xexdx 1xex C 3. ln x a x a x b x b 1 ln x x ax bdx a x b ln x b x a dx ln x a x bdx ln(a x)ln(b x) ln x b x a

积 分 计 算

不定积分

1.

1 x1x2exdx x2exdx x

x2exdx; x1 xx2exdx xde 1x x 1x2exdx,所以 1 xx2ex

dx 1

xex

C 2.

1 xx2exdx 1x

2

exdx 1xexdx 1xex

C 3. ln

x a x a

x b

x b

1 ln x x ax bdx a x b ln x b x a

dx ln x a x bdx ln(a x)ln(b x) ln x b

x a

所以 ln x a x a

x b

x b

1 x ax bdx ln(a x)ln(b x) C

4. 因为 cosx xsinx 2sinx xcosx

x sinx cosx

xcos2x 2sinx cosx xsin2x sinxcosx

cosx xsinx 2

cosx xsinx

2

xcosx 2sinx cosx cosx xsinx

dx xsinx cosx sinx2 cosx xsinx 2

cosxd

1cosx xsinx sinxcosx xsinx cosx

cosx xsinx C

5. 因为 x ex 1 ex 所以

ex 1 x

ex x x xex

x ex

x 1 exx ex 1

x ex x ex

1x ex xd1x ex

x

x e

x C 6.因为arcsinx arccosx

2

所以 arcsinx arccosxdx

2

arcsinxdx arcsinx 2

dx

2 xarcsinx

x

arcsinx 2

2 xarcsinx 1 x2

x

arcsinx 2

1 x2

2

2

xarcsinxx

arcsinx 2

arcsin

xarcsinxx

arcsinx 2

2

x 2

arcsinx

xarcsinxx

arcsinx 2

2

x 2x C

7. arcsinx arccosx dx x

arcsinx arccosx

x

arcsinx arccosx C

8.被积函数定义域为x 1或x 1,当x 1时,设x sect

0 t 2

1secttantsecttantdt t C arccos1

x

C

当x 1时,设x t,

t 1

t arccos1t C arccos1

x C arccos

1

x

C 14

52

9. x x5 1 4dx 15 x 1 1 x5 1 4 x5

1 15 x5 1 2

2 x5

1 1 x5 1

4

x5 1 1 5

1135 x 1 x5 1 2 x5 1 3

C

5

4

2

10. x x1x 11t 11 1 1 t2

x8 1 2 x8 12 2 t4 1dt 2 2

dt t 1

t

2

11 1

d t 2 1 2t

t t

x5 x1x4 121t2 11t2 1

或 8dx 8 4 4

22

x 12x 12t 12t 2t 1 2t

1t2 112

dt 2

t2 1 2 22

1 dt 4定积分计算

定积分定义:

nn 1n n

1. lim 2 2 2 lim 2 n n 1n 4n n n nk 1

1 k

1 n

2

1

dx

01 x2

1

1n

2.lim limn n nk 3.f x ax,

lim

3

1

113

lnf1f2 fn lim1lna 23lna n3lna 44 n nn n

3

11n k lna

lnalim lna x3dx

0n nn4 k 1

1111 1n1 1

4.lim dx lim01 xn n 1n nkn 2n n k 1

1 n

利用定积分是数值,与积分变量选取无关:

设连续函数f(x)满足f(x) x x解:令a

210

f(x)dx x3 f(x)dx,求f(x)

2

0

1

f(x)dx,b f(x)dx,则f(x) x ax2 bx3

2

1ab a 1f(x)dx 1x ax2 bx3dx3a a 23400

则 ,即 ,解得 8

2223 b 2 8a 16b b f(x)dx x ax bxdx b 1 00 34

所以f(x) x

323x x 8

变限积分 1. lim

x 0

x

1 t21x t2

e 1dt lim3 e 1dt lim

0x 0xx 0x3

e x 13x2

2

1

3

4

2. lim

x 0

x

1 tx 21

e 1dt lim

x 0x6x5

tx u

x

2

e u 1du lim

x 0

2

e x 12x6x5

1

3

tx=u1t12

3.求limsin(tx)dx=lim56

t0+t蝌0t0+t

t20

2tsint41

sinudu=lim=

t 0+6t53

2

4.设f x 有连续导数,f 0 0,f 0 0,求lim

x 0

x

x2

00

f t dt

2

f t dt

lim

x 0

x

x2

00

f t dt

x

2

f t dt

lim

x 0

2xf x2 2x f t dt xf x

2

0x

lim

x 0

2f x2 2 f t dt xf x

0x

lim

x 0

4xf x2 3fx xf x lim

x 0

4f x2 fx f03 f x

x

1

5.当x 0时,F x x2 t2 f t dx的导数与x2为等价无穷小,求f 0 。

x

lim

x 0

F x 0

limx 0x3

x0

x

x2 t2 f t dx

x

3

lim

x 0

x2 f t dx t2f t dx

xx

x

x0

3

lim

x 0

2x f t dx x2f x x2f x

3x2

lim

x 0

2 f t dx

3x

2

f 0 3

又,lim

x 0

F x F x 1211

lim ,所以 f0 ,f0 32x 0x3x3332

sinx0 x x 6.设f x x,g x 2

,求F x f t g x t dt。

0x

02解: x

f t g x t dt x

tg x t dtx t u

0

x

x u g u du

x xx

g u du 0

ug u du

xxsinudu xusinudu0 x x

0 0 2 sinx0 x 2

x 20sinudu 2 0usinudux 2

x 1x 2定积分 p

p

p

2

1.ò

2

sin2xcos4xdx= 120

sin2xcosx)2

dx=12轾41

0(4

犏臌

2(sin3x+sinx)dxp

=116

ò222

0(sin3x+2sin3xsinx+sinx)dxp

=1232ò0((1-cos6x)+2(cos2x-cos4x)+(1-cos2x))dx=p32

2

1

arctanx

tant

1 x

2

2

1

arctanx

1 x

2

2

x

4t

sec2

tdt 4tcos2sec4t

0tdt 2

40

t1 2cos2x2 1 4

2 14 0 1 2cos2t dt 64 16 8

3.

1

arctanx

1 x

2

4. 1

xarctanx211arctanx2dx dx2122

1

2

01 x42 01 x4 4

arctanx 0

64

1 1x 0 5.设f x

x

,求2

x 1 dx。

…… 此处隐藏:7495字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

江苏省高等数学竞赛积分试题.doc 将本文的Word文档下载到电脑,方便复制、编辑、收藏和打印
本文链接:https://www.jiaowen.net/wenku/1112774.html(转载请注明文章来源)
Copyright © 2020-2025 教文网 版权所有
声明 :本网站尊重并保护知识产权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果我们转载的作品侵犯了您的权利,请在一个月内通知我们,我们会及时删除。
客服QQ:78024566 邮箱:78024566@qq.com
苏ICP备19068818号-2
Top
× 游客快捷下载通道(下载后可以自由复制和排版)
VIP包月下载
特价:29 元/月 原价:99元
低至 0.3 元/份 每月下载150
全站内容免费自由复制
VIP包月下载
特价:29 元/月 原价:99元
低至 0.3 元/份 每月下载150
全站内容免费自由复制
注:下载文档有可能出现无法下载或内容有问题,请联系客服协助您处理。
× 常见问题(客服时间:周一到周五 9:30-18:00)