江苏省高等数学竞赛积分试题
积 分 计 算
不定积分
1.
1 x1x2exdx x2exdx x
x2exdx; x1 xx2exdx xde 1x x 1x2exdx,所以 1 xx2ex
dx 1
xex
C 2.
1 xx2exdx 1x
2
exdx 1xexdx 1xex
C 3. ln
x a x a
x b
x b
1 ln x x ax bdx a x b ln x b x a
dx ln x a x bdx ln(a x)ln(b x) ln x b
x a
所以 ln x a x a
x b
x b
1 x ax bdx ln(a x)ln(b x) C
4. 因为 cosx xsinx 2sinx xcosx
x sinx cosx
xcos2x 2sinx cosx xsin2x sinxcosx
cosx xsinx 2
cosx xsinx
2
xcosx 2sinx cosx cosx xsinx
dx xsinx cosx sinx2 cosx xsinx 2
cosxd
1cosx xsinx sinxcosx xsinx cosx
cosx xsinx C
5. 因为 x ex 1 ex 所以
ex 1 x
ex x x xex
x ex
x 1 exx ex 1
x ex x ex
1x ex xd1x ex
x
x e
x C 6.因为arcsinx arccosx
2
所以 arcsinx arccosxdx
2
arcsinxdx arcsinx 2
dx
2 xarcsinx
x
arcsinx 2
2 xarcsinx 1 x2
x
arcsinx 2
1 x2
2
2
xarcsinxx
arcsinx 2
arcsin
xarcsinxx
arcsinx 2
2
x 2
arcsinx
xarcsinxx
arcsinx 2
2
x 2x C
7. arcsinx arccosx dx x
arcsinx arccosx
x
arcsinx arccosx C
8.被积函数定义域为x 1或x 1,当x 1时,设x sect
0 t 2
1secttantsecttantdt t C arccos1
x
C
当x 1时,设x t,
t 1
t arccos1t C arccos1
x C arccos
1
x
C 14
52
9. x x5 1 4dx 15 x 1 1 x5 1 4 x5
1 15 x5 1 2
2 x5
1 1 x5 1
4
x5 1 1 5
1135 x 1 x5 1 2 x5 1 3
C
5
4
2
10. x x1x 11t 11 1 1 t2
x8 1 2 x8 12 2 t4 1dt 2 2
dt t 1
t
2
11 1
d t 2 1 2t
t t
x5 x1x4 121t2 11t2 1
或 8dx 8 4 4
22
x 12x 12t 12t 2t 1 2t
1t2 112
dt 2
t2 1 2 22
1 dt 4定积分计算
定积分定义:
nn 1n n
1. lim 2 2 2 lim 2 n n 1n 4n n n nk 1
1 k
1 n
2
1
dx
01 x2
1
1n
2.lim limn n nk 3.f x ax,
lim
3
1
113
lnf1f2 fn lim1lna 23lna n3lna 44 n nn n
3
11n k lna
lnalim lna x3dx
0n nn4 k 1
1111 1n1 1
4.lim dx lim01 xn n 1n nkn 2n n k 1
1 n
利用定积分是数值,与积分变量选取无关:
设连续函数f(x)满足f(x) x x解:令a
210
f(x)dx x3 f(x)dx,求f(x)
2
0
1
f(x)dx,b f(x)dx,则f(x) x ax2 bx3
2
1ab a 1f(x)dx 1x ax2 bx3dx3a a 23400
则 ,即 ,解得 8
2223 b 2 8a 16b b f(x)dx x ax bxdx b 1 00 34
所以f(x) x
323x x 8
变限积分 1. lim
x 0
x
1 t21x t2
e 1dt lim3 e 1dt lim
0x 0xx 0x3
e x 13x2
2
1
3
4
2. lim
x 0
x
1 tx 21
e 1dt lim
x 0x6x5
tx u
x
2
e u 1du lim
x 0
2
e x 12x6x5
1
3
tx=u1t12
3.求limsin(tx)dx=lim56
t0+t蝌0t0+t
t20
2tsint41
sinudu=lim=
t 0+6t53
2
4.设f x 有连续导数,f 0 0,f 0 0,求lim
x 0
x
x2
00
f t dt
2
f t dt
lim
x 0
x
x2
00
f t dt
x
2
f t dt
lim
x 0
2xf x2 2x f t dt xf x
2
0x
lim
x 0
2f x2 2 f t dt xf x
0x
lim
x 0
4xf x2 3fx xf x lim
x 0
4f x2 fx f03 f x
x
1
5.当x 0时,F x x2 t2 f t dx的导数与x2为等价无穷小,求f 0 。
x
lim
x 0
F x 0
limx 0x3
x0
x
x2 t2 f t dx
x
3
lim
x 0
x2 f t dx t2f t dx
xx
x
x0
3
lim
x 0
2x f t dx x2f x x2f x
3x2
lim
x 0
2 f t dx
3x
2
f 0 3
又,lim
x 0
F x F x 1211
lim ,所以 f0 ,f0 32x 0x3x3332
sinx0 x x 6.设f x x,g x 2
,求F x f t g x t dt。
0x
02解: x
f t g x t dt x
tg x t dtx t u
0
x
x u g u du
x xx
g u du 0
ug u du
xxsinudu xusinudu0 x x
0 0 2 sinx0 x 2
x 20sinudu 2 0usinudux 2
x 1x 2定积分 p
p
p
2
1.ò
2
sin2xcos4xdx= 120
sin2xcosx)2
dx=12轾41
0(4
犏臌
2(sin3x+sinx)dxp
=116
ò222
0(sin3x+2sin3xsinx+sinx)dxp
=1232ò0((1-cos6x)+2(cos2x-cos4x)+(1-cos2x))dx=p32
2
1
arctanx
tant
1 x
2
2
1
arctanx
1 x
2
2
x
4t
sec2
tdt 4tcos2sec4t
0tdt 2
40
t1 2cos2x2 1 4
2 14 0 1 2cos2t dt 64 16 8
3.
1
arctanx
1 x
2
4. 1
xarctanx211arctanx2dx dx2122
1
2
01 x42 01 x4 4
arctanx 0
64
1 1x 0 5.设f x
x
,求2
x 1 dx。
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