用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径

不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.

这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教.

根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分.

常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.

对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.

而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论: 途径1:放缩为例1.求证：1 证明：1

1

类.

等差 等差

111 2 22223n

111111 1

n 1n2232n21 22 3

1 1 1 11 1

1 1 2 2

n 2 23 n 1n

11151111

1 . ,则可证明 2222

23n3nn2 n n 422

注2：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子

注1：此题若放缩为

并不一定是放缩为

1

.

等差 等差

⑵此类型的特征是：通项的结构常与正整数的幂有关. 同类不等式还有：

11111⑴1 3 3 3

23n8 （从第三项起放缩为：

11111

= ( )）

n3(n 2) (n 1) n2(n 2)(n 1)(n 1)n

注3：若第三项放缩为⑵1

1117 2!3!n!4

11

3

n 1nn 1n

1 11 1115

1 . ，则可证明333 23n42 n 1nnn 1

（从第三项起放缩为

111 11

） n!(n 2) (n 1) n2 n 2n 1n 1n

1

⑶1

11171

32 52

2n 12 6 22n 1 (n>1) (从第二项起放缩为：

111 12n 12 2n 12n 1 2 2n 1 1

2n 1

，再累加可得)

⑷n4 121 3 223 5

n2n2n 12n 1 2 (n>1)

（从第一项起放缩为：nn(n 1)4 2(2n 2) n2 n2(2n 1) 1 4 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1

，

再累加得：左式<中式=

n2 nn(n 122n 1 )

2(n 1)

右式） ⑸1

222 3n32 n2

3 (n>1) (从第二项起放缩为：

n 1 22

2

n2nnnn nn (n 1)n nn 1 n(n 1)(n n 1)

=

2(n n 1)n 1 2 1

n 1

1 2n ，再累加得：左边<3 n 3) 途径2:放缩为等比类.

例2.求证：

12 1 112 12 1 152 32n 1 3

证明： 2n 1 714 2n 1, n 3 2n

1 47 1

2

n 1

111114 11

2 1 22 1 23 1 2n 1 1 3 7 22 2n 1

43 27(1 142343552n) 3 7 21 21 3

例3.(1 13)(1 111

32) (1 3n) 2

证明1：利用不等式：若0 ai 1,(i 1,2, n), 则(1 a1)(1 a2) (1 an) 1 (a1 a2 an)

则有：(1 11113)(1 3(1 1111112) 3n) 1 (3 32 3n) 1 2(1 3n) 2 2 3n 1

2

证明2：利用(1 1

)nn

3 (后面例8将证)

2

3 132 13n 1

2 n 2 (真分数的性质) 原不等式 333111

(1 )(1 2) (1 n) 2 (*)

333

111

(1 ) (1 2) (1 n) 111 (均值不等式) 现证(*)： (1 )(1 2) (1 n)

333n

1 11

2 ...n

1 n

1

1

2n

2n

1

2

n

11

(1 n)

(1 1)n 1 n2n

nn

1

32 2

注：⑴此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“错位相减法”求和的新数列（常常是等比数

列），有的题例子并不严格是放缩为等比数列（如同类不等式的⑷）.

⑵此类型的放缩手法多样：可以简单地放大缩小分子分母（如同类不等式的⑴），或利用重要的

不等式（例3），或采用固定的程式放缩（如例2，同类不等式的⑵、⑶）等. ⑶此类型的特征是：通项的结构常与正整数的指数式有关. 同类不等式还有：

1111411 2 3 n (从第三项起放缩为：n n) ⑴

2 12 12 12 152 1211114 2 ⑵ 3 23 2233 233n 2n3

11

(∵3n 5 2n 3n 2n 2n 2(n 4),∴从第四项起放缩为：n) nn 2

3 22⑶

122 1

122 1

1

122 1

2

122

n 1

3

2

122

n 1

(∵22⑷

n 1

1 3n 1,∴从第一项起放缩为：

1

1

). n 1

3

1352n 14 2 3 n 3 13 13 13 13

2n 12n1 462n 1 52n 3 42n 34

得：左 n 1 n 1 ） nn23n 3 132 333 2 6333 3

（从第二项起放缩为：

3

途径3:放缩为(高阶)等差类. 例4.已知a

n sin

n(n 1)

,Sn为其前n项和.⑴求证:当0 x

2

时,有

2

x sinx x; ⑵1 Sn .证明：

⑴用导数证明，略. ⑵ 0

2, 2 1 n 1 n 1 2 nn 1 sin nn 1 nn 1 1

n 1 n(n 1)

n 1

2 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 S 1 11 1

1 n

1 2 2 3 n n 1

2(1

1n 1) S1

n (1 n 1

) 1 Sn 注：⑴此类型的实质就是直接利用函数不等式进行放缩.至于何时使用此法，一是看不等式的结构，二是多数情况下题目要给出提示.

⑵此类型的特征是：不等式的结构常与函数不等式有关. 常见函数不等式如下: ①2

x sinx x tanx(0 x

x3x2 2);②x 6 sinx x(x 0);③1

2 cosx 1 x22 x4

24(x 0); ④tanx x x33(0 x xx

x2xx22);⑤e 1 x,e 1 x 2(x 0);⑥1 2

8 x 1 x2 x 0 ; ⑦x

x22 ln 1 x x x 0 ;⑧x

1 x ln 1 x x x 1,当且仅当x 0时取等 同类不等式还有：1.⑴求证：当x>-1时有：

x

x 1

ln 1 x x 当且仅当x 0时取等 ； ⑵求证：1112 3

n 1 ln n 1 1 12 1

n

. 证明：⑴由导数易证，略.

⑵由⑴的结论：取x 1n11 n ln 1 1

1 n n

4

11 11111234n 1111 从而有： ln ln ln ln ln 1 1 4234n 1123n23n 3 3

1 1 1 ln 1 n 1 n n

1

ln 1 1 121 1 1 ln 1 3 2 2

1111111 234n 1

ln 1 ，从而原不等式成立. 234n 1n 23n 123

途径4:增大（减小）分子（分母 ）或被开方数放缩类.

nn 1nn 2 2 2 3 n(n 1) 例5.求证： 22证明： n n2 n(n 1) n2 n

11

n 42

1

1 2 n 2 2 3 n(n 1) 1 2 n n

2

n n 1 n n 2 2 2 3 n(n …… 此处隐藏：3909字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……