利用FFT计算卷积

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利用FFT计算卷积

一．线卷积的作用及定义

线卷积包括卷积积分和卷积和。 1．线卷积的作用

求解线性系统对任意激励信号的零态响应。 2．卷积积分

y(t)

x( )h(t )d x(t)*h(t)

3．卷积和

离散系统的时域分析是，已知离散系统的初始状态和输入信号（激励），求离散系统的输出（响应），两种方法：递推解法和离散卷积法。

卷积和：y(n)

m

x(m)h(n m) x(n) h(n)

二．圆周卷积的定义

圆周移位：一周期为N的周期序列, 可视为一主值序列在圆周上的循环移位。周期序列在时间轴上右移m

反时针左移

转称为圆周移位。

时域圆周卷积（循环卷积）

N 1

y(n) x(n) h(n)

m 0

x(m)h n m NRN n

条件：两序列实现圆卷积的条件是：长度相等，如果不相等, 可通过增补零值来使之相等。

特点：卷积求和范围只在0 m N 1有限区间进行；卷积时不作反褶平移, 而是反褶圆移

步骤：量置换 反褶 圆移 相乘 求和。 三．两者的关系

有限长序列的圆卷积和线卷积的关系

在一般情况下，两序列的圆卷积和线卷积是不相等的，这是因为：线卷积是

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平移, 结果长度为L N1 N2 1；而圆卷积是圆移，结果长度为L N1

N2

。只有

在两卷积的结果长度相时，二者才有相同的结果。解决方法是：在作圆卷积时，通过加零的方法，使两序列的长度都增加到L N1 N2 1，此时，圆卷积的结果和线卷积同。

四．利用FFT计算卷积

工程实际需要解决的卷积：y(n) x(n) h(n)，但其计算量很大。

而圆卷积为：y(n) x(n) h(n)，便于采用FFT算法, 故计算速度快。若将线卷积的两个序列用增补零的方法将长度取为一致，此时两序列的离散线卷积和圆周卷积结果是相等的，这样就则可以通过圆卷积来快速计算线卷积。

1、 利用FFT 计算卷积的步骤

（1）设两序列原长度分别为：N和M，将长度增加到L N M 1（L为2的整数次幂）；

（2）用FFT法求加长序列的DFT频谱； （3）计算两序列DFT频谱的乘积；

（4）用IFFT求DFT频谱乘积的逆变换，便得两序列的离散线卷积。

2、分段快速卷积

设x(n)为长序列，h(n)为短序列，长度为M，则两序列的离散线卷积可以写成如

y(n) x(n) h(n)

下

N 1

形

2N 1

式

(K 1)n 1

，

x(m)h(N

m 0

m)

x(m)h(N

m N

m)

x(m)h(N

m kN

m)

上述每个子段长度为N。为便于圆卷积计算，将长度通过补零加长为：L N M 1

x(n

0 n h(n

根据各子段xk n 增补零的部位不一样而分两种算法。

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(1) 重叠相加法

在各子段xk n 的尾部增加M－1 个零，则前一子段的尾部与后一子段的首部有M－1个项是重叠的，对重叠部分的卷积须作相加计算，故称重叠相加法。 (2) 重叠舍去法

该方法是在各子段的首部增加项数, 其中第一子段前部增补M-1个零, 而以后的各子段, 其前部不是增补零, 而是重复利用前一段的后M-1个项。此时, 由于各子段的前M-1个项重复采用了前一子段的后M-1个项，卷积结果会产生局部失真，因此，须将这前M-1个项舍去，故称重叠舍去法。