对弧长的曲线积分

10.1 对弧长的曲线积分

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念

求一个不均匀物体的质量，如果物体为一根直线段，也就是质量分布在一根直线段AB上，由定积分的概念可知，只要计算一个定积分就行了。那如果质量分布在一条可求长的曲线上呢？现在要计算这物体的质量。

曲线型物体的质量 假定物体所处的位置在xOy平面内的一段曲线弧L上，它的线密度为

f x,y ，由于物体上各点处的线密度为变量，我们利用下面四个步骤，求物体质量：

（1）分割：在L上任意插入一点列M1,M2, ,Mn 1把L分成n个小段，设第i个小段的长度为 si。

（2）近似：在第i个小段上任意取定的一点 i, i （i 1,2, ,n），作乘积f i, i si。在线密度连续的前提下，只要这一小段很短，就可以用这一小段上任一点处的密度代替这小段上的线密度，这一段的质量mi f i, i si。 （3）求和：求和

f , s

i

i

i 1

n

i

。当分点越多， si越小，和越接近物体的质量

n

n

m

m f , s

i

i

i

i 1

i 1

i

（4）求极限：记 max si ，当 0时，这和的极限总存在，从而得到

1 i n

m lim

0

f , s

i

i

i 1

n

i

这种和的极限在研究其他问题是也会遇到，现在给出下面定义： 10.1.2. 对弧长的曲线积分

定义 设L为xOy平面内的一条光滑曲线弧，函数f x,y 在L上有界。在L上任意插入一点列M1,M2, ,Mn 1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为 si。又 i, i 为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f i, i si（i 1,2, ,n），并作和

f , s

i

i

i 1

n

i

，如

果当各小弧段的长度的最大值 0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作

f x,y ds，即

L

f , s f x,y ds lim

L

0

i

i

i 1

n

i

其中f x,y 叫做被积函数，L叫做积分弧段，ds为弧长的微分。 注：（1）当f x,y 在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分后我们总假定f x,y 在L上连续。

（2）如果L是分段光滑的，我们规定函数在L上的曲线积分等于在光滑的各段上的曲线积

分之和。

（3）如果L是闭曲线，那么f x,y 在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为由对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下性质 性质1 设 , 为常数，则

f x,y ds是存在的。以

L

f x,y ds。

L

[ f x,y g x,y ]ds f x,y ds g x,y ds

L

L

L

性质2 若L可分成两段光滑曲线弧L1和L2，则

f x,y ds f x,y ds f x,y ds

L

L1

L2

性质3 设在L上f x,y g x,y ，则 特别地，有

f x,y ds g x,y ds

L

L

f x,y ds f x,y

L

L

2 对弧长的曲线积分的计算

定理 设f x,y 在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为

x t （ t ），

y t

t 在上具有一阶连续导数，且 t t 0，其中 t 、则曲线积分

2

2

f x,y ds存

L

在，且

L

f x,y ds f[ t , t ] t]2 [ t]2dt （ ）

在使用上述定理求弧长的曲线积分时，须注意以下问题： （1）计算弧长的曲线积分

f x,y ds时，只要把x、y、ds依次换为 t 、 t 、

L

t]2 [ t]2dt，然后从 到 积分就行了，但必须注意，定积分的下限 一定要

小于上限 。

（2） 如果曲线L由方程y x (x0 x X)给出，那么可以把这种情形看作是特殊的 参数方程 x t，y t (x0 t X)的情形，从而得出

f x,y ds

L

X

x0

f[x, x ] [ x]2dx （x0 X）

2

即 x保持不变，把y、ds依次换 x 、 [ x]dx。

（3） 如果曲线L由方程x y (y0 y Y)给出，则有

f x,y ds

L

Y

y0

f[ y ,y] [ y]2dy （y0 Y）

2

即把x换为 y 、y保持不变、ds换为 [ y]dy。

(4) 公式可推广到空间曲线L由参数方程

x t ,y t ,z w t

给出的情形，有

L

f x,y,z ds f[ t , t ,w t ] t]2 [ t]2 [w t]2dt （ ）

.3 应用举例

计算弧长的曲线积分 （1）求弧微分：ds

f x,y ds，实质是把L的方程代入被积表达式f x,y 转化为

L

定积分，其过程可分为以下三个步骤：

(dx)2 (dy)2；

（2）代入：将L的方程代入被积式； （3）定限：定限原则-----上限大于下限. 【例 1 】 计算 解：ds

L

xds，其中L为曲线y x2上由（0，0）到（1，1）的一段弧(图 ).

(dx)2 (dy)2 (dx)2 (2xdx)2 4x2dx

1

xds x 4x2dx

1122

∴ 原式 x 4xdx (1 4x)2d(1 4x)

080

1

2

【例 2 】 计算(图 ). 解

(x y)ds，其中

LOA

L为联结三点O(0,0),A(1,0),B 1,1 的直线段

(x y)ds= x y ds L

AB

(x y)ds+(x y)ds

BO

在直线段OA上,ds dx ,(x y)ds xdx,

1

x yds xdx OA 0

1

2

在直线段AB上,ds dy ,(x y)ds (1 y)dy,

3

x yds (1 y)dy AB 0

1

2

在直线段BO上,ds 所以

2dx ,(x y)ds 2x2dx, BO

x y ds 02x

1

2dx 2

(x y)ds 2

L

2

x2 y2.

【例 3 】求曲线L：x2 y2 ax的质量，其线密度 (x,y) 解 由对弧长的曲线积分的含义可知： m

L

(x,y)ds

L

x2 y2ds

把L的方程化为极坐标方程.将

x cos

代入x2 y2 ax得 acos ，

y sin

2

≤ ≤

，则 2

2

ds [ ( )]2d ad

222

x yds ad acos d

∴ m

22acos d 2a 2 2