第三章 异方差和自相关

社会经济实证分析方法：spss\stata

第三章

异方差和自相关

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本章要点 异方差的定义、产生原因及后果 异方差的检验方法 异方差的修正方法 自相关的产生原因 忽略自相关的严重后果 自相关的检验 自相关的修正

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在前面的章节里我们已经完成了对经典正态线性 回归模型的讨论。但在实际中，经典线性回归模

型的基本假定经常是不能得到满足的，而若在此状况下仍应用OLS进行回归，就会产生一系列的 问题，因此我们就需要采取不同的方法对基本假 定不满足的情况予以处理。 在本章中，我们将着重考虑假定2和假定3得不到

满足，即存在异方差和自相关情况下的处理办法。

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第一节 异方差的介绍

一、异方差的定义及产生原因 异方差(heteroscedasticy)就是对同方差假设 (assumption of homoscedasticity)的违反。经典 i 回归中同方差是指随着样本观察点X的变化，线 性模型中随机误差项 的方差并不改变，保持为 常数，即 var i)=( i2 ) 2 ( E i=1,2,…,n (3.1) 如果的数值对不同的样本观察值各不相同，则称 随机误差项具有异方差，即 var i) E ( i2 ) 2i 常数 i=1,2,…n (3.2) ( 4

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图3-1 异方差直观图5

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为什么会产生这种异方差性呢？ 一方面是因为随机误差项包括了测量误差和模型 中被省略的一些因素对因变量的影响，另一方面 来自不同抽样单元的因变量观察值之间可能差别

很大。因此，异方差性多出现在横截面样本之中。至于时间序列，则由于因变量观察值来自不同时 期的同一样本单元，通常因变量的不同观察值之 间的差别不是很大，所以异方差性一般不明显。

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二、异方差的后果 一旦随机误差项违反同方差假设，即具有异方差

性，如果仍然用OLS进行参数估计，将会产生什么样的后果呢？ 结论就是，OLS估计量的线性和无偏性都不会受 到影响，但不再具备最优性，即在所有线性无偏 估计值中我们得出的估计值的方差并非是最小的。

所以，当回归模型中随机项具有异方差性时，OLS法已不再适用。7

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第二节 异方差的检验 由于异方差的存在会导致OLS估计量的最佳性丧失，降低精确度。所以，对所取得的样本数据 (尤其是横截面数据)判断是否存在异方差，是

我们在进行正确回归分析之前要考虑的事情。异方差的检验主要有图示法和解析法，下面我们将 介绍几种常用的检验方法。

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一、图示法 图示法是检验异方差的一种直观方法，通常有下 列两种思路： (一)因变量y与解释变量x的散点图：若随着x 的增加，图中散点分布的区域逐渐变宽或变窄， 或出现了偏离带状区域

的复杂变化，则随机项可 能出现了异方差。 2 (二)残差图。残差图即残差平方 i( i 2的估计值) 与x的散点图，或者在有多个解释变量时可作残 2 i2 差 与y的散点图或残差 和可能与异方差有关的 i x的散点图。具体做法：先在同方差的假设下对 原模型应用OLS法，求出和残差平方 ，再绘制 i2 i i2 残差图( , y)。9

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二、解析法 检验异方差的解析方法的共同思想是，由于不同

的观察值随机误差项具有不同的方差，因此检验异方差的主要问题是判断随机误差项的方差与解

释变量之间的相关性，下列这些方法都是围绕这个思路，通过建立不同的模型和验判标准来检验 异方差。

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(一)Goldfeld-Quandt检验法 Goldfeld-Quandt检验法是由S.M.Goldfeld和 R.E.Quandt于1965年提出的。这种检验方法以F检 验为基础，适用于大样本情形(n>30),并且要求

满足条件：观测值的数目至少是参数的二倍；随机项没有自相关并且服从正态分布。 统计假设：零假设 H 0 : i 是同方差(i=1,2,…,n)

备择假设 H1 : i 具有异方差

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Goldfeld-Quandt检验法涉及对两个最小二乘回归 直线的计算，一个回归直线采用我们认为随机项

方差较小的数据，另一个采用我们认为随机项方差较大的数据。如果各回归直线残差的方差大致 相等，则不能拒绝同方差的原假设，但是如果残 差的方差增加很多，就可能拒绝原假设。步骤为：

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第一步，处理观测值。 将某个解释变量的观测值按由小到大的 顺序排列，然后将居中的d项观测数据除 去，其中d的大小可以选择，比如取样本 容量的1/4。再将剩余的(n-d)个数据 分为数目相等的二组。

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第二步，建立回归方程求残差平方和。 拟合两个回归模型，第一个是关于较小x值 的那部分数据，第二个是关于较大x值的那 部分数据。每一个回归模型都有(n-d)/2个 数据以及[(n-d)/2]-2的自由度。d必须足够 小以保证有足够的自由度，从而能够对每 一个回归模型进行适当的估计。 对每一个回归模型，计算残差平方和：记 值较小的一组子样本的残差平方和为 RSS1 1i 2 , i 值较大的一组子样本的残差平 x = RSS 2 = 2i 2 。 方和为14

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第三步，建立统计量。 用所得出的两个子样本的残差平方和构成F统 计量：n d 2i /( k 1) 2i 2 n d n d 2 F ~ F( k 1, k 1) 2 n d 2 2 1i 2 /( k 1) 1i 22

若零假设为真，则上式中n为样本容量(观测值 总数),d为被去掉的观测值数目，k为模型中自 变量的个数。15

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第四步，得出结论。 假设随机项服

从正态分布(并且不存在序列相 关),则统计量 RSS2 / RSS1 将服从分子自由度和分 母自由度均为( n d k 1 )的F分布。2

对于给定的显著性水平，如果统计量的值大于上 述F分布的临界值，我们就拒绝原假设,认为残差 具有异方差性。否则，就不能拒绝原假设。