工科数学分析函数项级数(二)

§10.4 极限函数与和函数的性质

一、连续性 定理1. ⒈ 定理1. f n ( x )在I上连续, 且f n ( x )一致收敛于 f ( x ), 则f ( x )在I上连续.

定理1 ∑ 定理1′ un ( x )在I上一致收敛于 S ( x ),n =1

∞

若un ( x ) ∈ C I , 则S ( x ) ∈ C I .

分析： 分析： f ( x ) f ( x0 )f n ( x ) f n ( x0 ) fn ( x) f ( x)

证明： 证明： x0 ∈ If ( x ) f ( x0 )

≤ f ( x ) f n ( x ) + f n ( x ) f n ( x0 ) + f n ( x0 ) f ( x0 )

Q lim f n ( x ) = f ( x ) ( uni ),n→ ∞

∴ ε > 0, N , n > N时, x ∈ I ,

f n ( x ) f ( x ) < , f n ( x0 ) f ( x0 ) < , 3 3又由f n ( x ) ∈ C I ,当 x x0 < δ时, f n ( x ) f n ( x0 ) <∴ f ( x ) f ( x0 ) < ε

ε

ε

ε3

cos nx 一致收敛， + 例1. Ⅰ.n∑1 n2 在( ∞, ∞)一致收敛， =

∞

∴ S ( x )在( ∞ ,+∞ )连续 ∞ xn 2 Ⅱ. S ( x ) = ∑ n cos nπx , 求 lim S ( x ) x →1 n= 0 3 n x Q un ( x ) ≤ , 3 n 2 ∴ x < 2时, | un ( x ) |< , 在[ 2,+2]一致收敛 . 3 S ( x )在[ 2,+2]连续, ∞ ( 1)n 3 ∴ lim S ( x ) = S (1) = ∑ = n x →1 n= 0 3 4

例2. 内闭一致收敛S ( x ) = ∑ ne nx 在(0,+∞ )不一致收敛 , Ⅰ.n =1 ∞

但是在 [δ ,+∞ )一致收敛

∴ S ( x )在[δ ,+∞ )连续,由δ任意性, S ( x )在(0,+∞ )连续. x 在( ∞ ,+∞ )不一致收敛 ? Ⅱ. S ( x ) = n∑2 = ln n ∞ n

但在[ M , M ]一致收敛 , S ( x )在[ M , M ]连续

由M任意性, S ( x ) ∈ C ( ∞ ,+∞ ). 任意性

2.Dini定理： S ( x )连续 级数一致收敛 ?) 定理： 2. 定理 ( 定理2 定理2: { f n ( x )}∈ C [a , b], 如任意给定 x ∈ [a , b],f n ( x )递减 → 0, 则{ f n ( x )}一致收敛于 0.

{ 证明：若不然， 证明：若不然， f n ( x )}在上不一致收敛于 0,f n ( xk ) ≥ ε 0 k = 1,2Lk

ε 0 > 0, 及子列{nk }和点列{xk }∈ [a , b], 使Q {xk }有收敛子列 ∴ 不妨设 lim xk = x0 ∈ [a , b]k →∞k

Q nk > n,由f n ↓ 知 f n ( xk ) ≥ f n ( xk ) ≥ ε 0

矛盾！ 矛盾！

令k → ∞ , f n ( x 0 ) ≥ ε 0, 再令n → ∞

f ( x0 ) ≥ ε 0

定理2′ 定理2′ { f n ( x )}∈ C [a , b], 且函数收敛于 f ( x ),f ∈ C [a , b], 若对任意给定 x ,{ f n ( x )} 单调,则{ f n ( x )}在[a , b]上一致收敛于 f ( x ).

定理2 定理2〃(级数形式) 级数形式)

∑ u ( x ), u ( x ) ∈ C[a , b], 且u ( x ) ≥ 0.n =1 n n n

∞

若其和 S ( x ) ∈ C [a , b], 则∑ un ( x )在[a , b]n =1

∞

上一致收敛 .

二、逐项积分 1.函数列： 1.函数列： 函数列uni { f n }∈ R[a , b], 且f n ( x ) → f ( x ), 定理3 定理3:设

b b 则f ∈ R[a , b] 且 lim ∫a f n ( x )dx = ∫a f ( x )dx n→ ∞

证明： 证明：略

极限与积分交换uni

推论 设{ f n }∈ C [a , b], 且f n → f ( x ), 则n→ ∞

lim

b ∫a f n (

x )dx

b = ∫a f ( x )dx

2.级数形式： 2.级数形式： 级数形式 定理3' 定理3' 设∑ un ( x ) → S ( x ), un ( x ) ∈ R[a , b],一致收敛 n =1 ∞ b ∞ ∞

则S ( x ) ∈ R[a , b], 且 ∫∞

a

∑ u ( x )dx = ∑ ∫n =1 n n =1

b

a

un ( x )dx

推论 设∑ un ( x )在[a , b]一致收敛 , un ( x ) ∈ C [a , b],n =1 b ∞ b ∞ 则∫ ∑ un ( x ) dx = ∑ ∫ un ( x )dx a a n =1 n =1

基本要求: 一致收敛+ 基本要求: 一致收敛+可积 可逐项积分

π cos nx 例3. f ( x ) = ∑ n 2 , 求∫0 f ( x )dx . n =1

∞

解: 由级数在 [0, π ]一致收敛，一般项连续, 一致收敛，一般项连续, 可逐项积分

∫

π

0

f ( x )dx = ∑ ∫n =1

∞

π

0

cos nx d x = 0. 2 n

三、逐项求导 1.函数列形式： 1.函数列形式： 函数列形式 定理4 定理4:设 ' ⑴ f n ∈ C [a , b], ⑵ f n' ( x )在[a , b]一致收敛于 g ( x ), ⑶ x0 ∈ [a , b],{ f n ( x0 )}收敛则{ f n ( x )}在[a , b]上一致收敛于 f ( x ), 且对 x ∈ [a , b],f ' ( x ) = g ( x ), 即[lim f ( x)]'= [lim f ' ( x)]. n nn→ ∞ n→ ∞

证明： 证明：① 首先证一致收敛 , fm( x) fn( x) < ε' f n ( x ) f n ( x0 ) = ∫ f ( t )dt , f m ( x ) f m ( x0 ) = ∫ f m ( t )dtx0 ' n x

x

x0

Q f m ( x0 ) f n ( x0 ) <' fn ( x ) ' fm ( x )

ε2

(m, n > N1 )

据⑶

1 Q ( m , n > N 2 , x ∈ [a , b]) < 2 b a 据⑵ 当N = max{N 1 , N 2 }, m , n > N时f m ( x ) f n ( x ) ≤ f m ( x0 ) f n ( x0 ) +x ∫ x0

ε

(f

' m (t )

' fn (t )

)dt

≤

ε2

+ ∫ f ( t ) f ( t ) dt ≤x0 ' m ' n

x

ε

+ < ε. 2 2 b a

ε x0 x

② 设 lim f n ( x ) = f ( x )n→ ∞

由积分换序定理知： 由积分换序定理知：

∫

x

x0

g ( t )dt = lim ∫ f ( t )dtn → ∞ x0 ' n

x

= lim[ f n ( x ) f n ( x0 )] = f ( x ) f ( x0 ).n→ ∞

∴ f ( x ) = f ( x0 ) + ∫ g ( t )dtx0

x

∴ f ' ( x ) = g( x )

2.函数项级数形式： 2.函数项级数形式： 函数项级数形式如 定理4′ 定理4′ ∑ un ( x )满足条件 :n =1 ∞

⒈ u ∈ C [a , b], ⒉ ⒊

∑ u ( x )在[a , b]上一致收敛于 g( x ),至少一点 ∑ u ( x )至少一点x 处收敛,n =1 n 0 n= n =1 ∞ ' n

∞

' n

则∑ un ( x )在[a , b]一致收敛 , 其和S ' ( x ) ∈ C [a , b],∞ 且S ' ( x ) = g ( x ), 即有： ∑ u ( x ) = ∑ u' ( x ) 即有： n n n =1 n =1 ∞ '

sin nx 例4.证明f ( x ) = ∑ 4 在( ∞ ,+∞ )上有二阶 n n =1 连续导函数 , 并求f " ( x ). sin nx Q 解 ： un ( x ) = 4 n ∞ ∞ cos nx ' ∴ ∑ un ( x ) = ∑ 一致收敛 , ( ∞ ,+∞ ). 3 n n =1 n =1cos nx ∴ f '( x ) = ∑ 3 n=1 n ∞ sin nx f 同理： 同理： "( x ) = n∑1 n2 =∞

∞

作业

习题10.4 习题 1、 2); 、

3;

5;

8.