(华师版初中数学教案全)第八章一元一次不等式

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第8章 一元一次不等式

8.1 认识不等式

问题1 世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？ 我们不妨一起来算一算： 买27张票，要付款 5×27＝135（元） 买30张票，要付款 4×30＝120（元）

显然 120<135 这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上反而节省了。

当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。现在的问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？ 探索 我们一起来分析上面提出的问题。

设有x人要进世纪公园，如果x≧30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元。如果x<30，那么：

按实际人数买票x张，要付款5x（元） 买30张票，要付款4×30＝120（元） 如果买30张票合算，那么应有

120<5 x

现在的问题就是：x取哪些数值时，上式成立？

由上表可见，当x＝___________时，不等式120<5x成立。也就是说，少于30人时，

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至少要有_____人进公园时，买30张票反而合算。

概括 像上面出现的120<135，x<30，120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。 不等式120<5x中含有未知数x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）。 如上例中，x＝25，26，27，…都是不等式120<5x的解，而x＝24，23，22，21则不是它的解。

例 用不等式表示： （1）x的一半小于－1 （3）a是负数； 解 （1）2x<－1 （2）y＋4>0.5 （3）a<0

（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b＝0，通常可表示成b≥0。

练习

1．用不等式表示： （1）x的3倍大于5； （3）x的2倍大于x； （5）a是正数；

（2）y与2的差小于－1。

1

（2）y与4的和大于0.5

（4）b是非负数；

（4）y的2与3的差是负数。

（6）b不是正数；

2．用“<”或“>”号填空： （1）7＋3________4＋3；

（2）7＋（－1）______4＋（－1）；

（3）7×3________4×3； （4）7×（－3）______4×（－3）。

3．下列各数中，哪些是不等式x＋2>5的解？哪些不是？ －3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。

习题8.1

1．比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空： （1）－3______-2； （2）－1______0； （3）3______－4； （5）2______3； 2．用不等式表示：

（1）x的2与3的差大于2； （2）2x与1的和小于零； （3）a的2倍与4的差是正数； （4）b的2与c的和是负数；

（5）a与b的差是非负数； （6）x的绝对值与1的和不小于1。

3．向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始两天，每人每天完成5本杂志。

1

1

（4）－5______－6； （6）－2______－3。

1

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问以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？试列出不等式，找出符合题意的一些解。

8.2 解一元一次不等式

1． 不等式的解集

回忆

在上一节练习第3题中，我们发现，－3、－2、－1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x

＋2>5的解。由此可以看出，不等式x＋2>5有许多个解。

进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是

不等式x＋2>5的解。由此可见，不等式x＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>5的解集。

概括

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集（solution

set）。

研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解

不等式（solving inequality）。

不等式x＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.1

所示。

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2

所示。

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练习

1． 根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2成立”，能不能说“不等式x＋3>2的解

集是x>0”？为什么？

2． 两个不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区

别？

3． 两个不等式的解集分别为x<1和x≥1，分别在数轴上将它们表示出来。 2．

不等式的简单变形

回顾与探索

在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。在研究解不等式时，我们同样应先如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），探究不等式的变形规律。

如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）。

概括

不等式的性质1 如果a>b，那么 a＋c>b＋c，a－c>b－

c

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。

思考

不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？

试一试

将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空： 7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×0_______4×0，

7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），

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……………………………………………… 从中你能发现什么？

概括

不等式的性质2

如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

不等式的性质3 如果a>b，并且c<0，那么ac<bc。

这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边

都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x<a的形式。

例1解不等式：

（1）x－7<8

（2）3x<2x-3

解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以

x－7＋7<8＋7，

得 x<15

（2）不等式的两边都减去2x（即加上－2x），不等号的方向不变，所以

3x－2x<2x－3－2x 得 x<－3 这里的变形，与方程变形中的移项相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎

么进行吗？

例2 解不等式： （1）2x>－3；

1

（2）－2x<6 …… 此处隐藏：6050字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……