高二数学排列组合的简单运用 人教版

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排列的简单运用 (二) 二优限法 捆绑法 插空法

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知识回顾： 知识回顾：1、什么叫做一个排列？什么叫做全排列？什么叫 什么叫做一个排列？什么叫做全排列？ 做排列数 ？ 排列数公式？ 2、排列数公式？

A = n(n 1) (n m +1)

n! A = (n m)!m n

m n

3、阶乘的概念？ 阶乘的概念？

n!= n(n 1) 2 1规定0的阶乘等于1 规定0的阶乘等于1,即0!=1n+1 n 4、An+1 = (n +1) An

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典例分析： 典例分析：、(1) 位同学站成一排 位同学站成一排， 例1、( )7位同学站成一排，共有多少种不同的 、( 排法？ 排法？ 分析：问题可以看作 个元素的全排列 个元素的全排列. 7 分析：问题可以看作7个元素的全排列 A7 = 5040 (2) 7位同学站成两排 前3后4),共有多少种不同 位同学站成两排(前 后 ， 位同学站成两排 的排法？ 的排法？ 分析:根据分步计数原理 分析 根据分步计数原理

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7! = 5040(3) 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置 共 位同学站成一排， 位同学站成一排 其中甲站在中间的位置,共 有多少种不同的排法？ 有多少种不同的排法？ 分析:可看作甲固定 其余全排列 分析 可看作甲固定,其余全排列 可看作甲固定

A = 7206 6

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(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排 位同学站成一排， 位同学站成一排 法共有多少种？ 法共有多少种？ 解:将问题分步 将问题分步 第一步:甲乙站两端有 2 第一步 甲乙站两端有 A2 种 第二步:其余 名同学全排列有 第二步 其余5名同学全排列有 A5 种 其余5

∴ 共有A A =2400种2 2 5 5

答：共有2400种不同的排列方法。 共有2400种不同的排列方法。 2400种不同的排列方法

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(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和 位同学站成一排， 位同学站成一排 排尾的排法共有多少种？ 排尾的排法共有多少种？ 解法一:(特殊位置法 解法一 特殊位置法) 特殊位置法 第一步:从其余 位同学中找 人站排头和排尾, 第一步 从其余5位同学中找 人站排头和排尾 从其余 位同学中找2人站排头和排尾 2 A5 种; 有 第二步:剩下的全排列,有 第二步:剩下的全排列,有 A 剩下的全排列2 5 ∴ 共有A5 A5=2400种

5 5 种;

答：共有2400种不同的排列方法。 共有2400种不同的排列方法。 2400种不同的排列方法

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(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和 位同学站成一排， 位同学站成一排 排尾的排法共有多少种？ 排尾的排法共有多少种？ 解法二:(特殊元素法 解法二 特殊元素法) 特殊元素法 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的 个 第一步 将甲乙安排在除排头和排尾的5个 将甲乙安排在除排头和排尾的 位置中的两个位置上,有 2

位置中的两个位置上 有 A5 种; 第二步:其余同学全排列 有 A5 种; 第二步 其余同学全排列,有 其余同学全排列2 5 ∴ 共有A5 A5=2400种

5

答：共有2400种不同的排列方法。 共有2400种不同的排列方法。 2400种不同的排列方法

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(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和 位同学站成一排， 位同学站成一排 排尾的排法共有多少种？ 排尾的排法共有多少种？ 解法三:(排除法 解法三 排除法) 排除法6 2A6 种, 先全排列有 A 种,其中甲或乙站排头有 其中甲或乙站排头有7 7

甲或乙站排尾的有 2A6 种,甲乙分别站在排头和 甲乙分别站在排头和 排尾的有 A A 种.2 2 5 57 6 2 5 ∴ 共有A7 4 A6 + A2 A5=2400种

6

答：共有2400种不同的排列方法。 共有2400种不同的排列方法。 2400种不同的排列方法

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优限法: 优限法对于“ 对于“在”与“不在”等类似有限制条件 不在”等类似有限制条件 有限制 的排 列问题,常常使用“直接法” 主要为 主要为“ 列问题 常常使用“直接法”(主要为“特殊 常常使用 位 置法” 或者“ 置法”和“特殊元素法”)或者“排除法”, 特殊元素法” 或者 排除法” 即优 先考虑限制条件.这种方法就是优限法. 先考虑限制条件 这种方法就是优限法 这种方法就是优限法

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位同学站成一排,甲乙同学必须相邻 例2. 7位同学站成一排 甲乙同学必须相邻 位同学站成一排 的排法共有多少种? 的排法共有多少种 分两步完成. 解:分两步完成 分两步完成 第一步:将甲乙两位同学“捆绑”在一起 视 第一步 将甲乙两位同学“捆绑”在一起,视 将甲乙两位同学 作为一个“ 元素,与其余 与其余5位同学一起进 作为一个“大”元素 与其余 位同学一起进 6 A 行全排列,有 行全排列,6有 种. 第二步:将甲乙两位同学“松绑” 进行排列 第二步 将甲乙两位同学“松绑”,进行排列 A 将甲乙两位同学 有 种.2 2

∴ 共有A A =1440种.6 6 2 2

答：共有1440种不同的排列方法。 共有1440种不同的排列方法。 1440种不同的排列方法

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捆绑法: 捆绑法对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 对于相邻问题 常常先将要相邻的元素捆绑 相邻问题 常常先将要相邻的元素捆绑 在一起,视作为一个元素 与其余元素全排 在一起 视作为一个元素,与其余元素全排 视作为一个元素 后它们之间进行全排列.这种方 列,再松绑后它们之间进行全排列 这种方 再松绑后它们之间进行全排列 法就是捆绑法 法就是捆绑法. 捆绑法

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位同学站成一排,甲乙同学不能相邻 例3. 7位同学站成一排 甲乙同学不能相邻 位同学站成一排 的排法共有多少种? 的排法共有多少种 先将其余5位同学全排列 解:先将其余 位同学全排列

有 A 种,再拉开 先将其余 位同学全排列,有 再拉开 留出6个空位 将甲乙分别插入到这6个空位的 留出 个空位,将甲乙分别插入到这 个空位的 个空位 将甲乙分别插入到这 其中两个中,有 A 其中两个中 有2 6 种. 5 5

5 2 ∴ 共有A5 A6=3600种.

答：共有3600种不同的排列方法。 共有3600种不同的排列方法。 3600种不同的排列方法

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巩固练习: 巩固练习7位同学站成一排 位同学站成一排, 位同学站成一排 (1)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多 甲 少种? 少种 (2)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排 甲 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排 头和排尾的排法共有多少种? 头和排尾的排法共有多少种 答案: 答案 (1) A A = 7205 5 3 3

(2)法一 : A A A = 9602 5 4 4 2 21 5 2 法二 : A4 A5 A2 = 960

6 5 2 法三 : ( A6 2 A5 ) A2 = 960

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插空法: 插空法对于不相邻问题,先将其余元素全排列 对于不相邻问题 先将其余元素全排列 不相邻问题 先将其余元素全排列, 再将这些不相邻的元素插入空挡中 这 再将这些不相邻的元素插入空挡中,这 插入空挡 种方法就是插空法 种方法就是插空法. 插空法

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