上海交大考研试题(高等代数2008)

上海交大考研试题(高等代数2008)

上海交通大学

2008年硕士研究生入学考试试题

试题序号： 828 试题名称： 高等代数

（答案必须写在答题纸上，写在试题纸上的一律不给分）

一（20分）、计算下列n阶行列式

a2+a1

（1）Dn=a3+a1

a1+a2

Man+a1

a3+a2La3+an,a1a2Lan¹0. MLMan+a2L0

La1+an

La2+an

a1b1+x

（2）Dn=

a2b1Manb1

a2b2+xa2b3La2bn

,a1b1+a2b2+L+anbn¹0.

MMLManb2anb3Lanbn+x

a1b2

a1b3L

a1bn

二（12分）、设aii>0(i=1,2,...,n),ajk<0(j¹k)，试证若行列式

åa

j=1

n

jk

>0(k=1,2,...,n)，则

A=MLM>0.

an1Lann

三（10分）、试求a与b使x-2ax+2整除x+3x+ax+b。

2n+1

2

4

2

a11La1n

四(10分)、设f(x)=条件：

åax΢[x]的次数为2n+1，p为素数。试证明若f(x)满足下列

iii=0

p2n+1,p|aj,j=n+1,...,2n,p2|aj,j=0,1,...,n,p30

则f(x)不可约。

五（12分）、设A为m´n矩阵，B为n´s矩阵，证明

r(AB)³r(A)+r(B)-n

这里r(X)表示矩阵X的秩。

六（12分）、设s为数域F上n维线性空间V上的线性变换，m(x)为s的最小多项式，若

上海交大考研试题(高等代数2008)

m(x)=m1(x)m2(x)满足(m1(x),m2(x))=1，且m1(x)，m2(x)的次数都大于零.证明存在

V的子空间V1和V2，满足V=V1ÅV2且s|V1和s|V2在V1和V2上的最小多项式分别为

m1(x)和m2(x)。

七（10分）、设sÎHomF(U,V)（U到V的所有线性映射构成的线性空间），其中U与V为数域F上的有限维线性空间.则dimFU为s的像空间的维数和核空间的维数之和。 八（10分）、设A为正定的实对称矩阵，a为一个实的n维列向量，b为一个实数，试求函数

f(x)=xTax+2aTx+b

的极值。

九（12分）、数域F上的n维线性空间V上的双线性型g:V´V®F若满足

g(a,a)=0

则称g为V上的一个交错型.证明若g为V上的一个交错型，则存在V的一组基{a1,...,an}使对任意的a,bÎV，有

gg(a,b)=(x1y2-x2y1)+L+(x2s-1y2s-x2sy2s-1)，

其中x=(x1,L,xn),y=(y1,L,yn)分别为a和b在基{a1,...,an}下的坐标。

十（12分）、证明实数域上奇数维的线性空间V上的两个可交换的线性变换必在V上有公共的特征向量。 十一（30分）、 （1） 证明若一个n阶复矩阵A满足AA=AA，则A有n个相互正交的复特征向量。 （2） 证明对任一个n阶复矩阵A，AA与AA有相同的特征值且均为非负实数。 （3） 证明任一个n阶复矩阵均可写成一个酉矩阵和一个半正定的Hermite矩阵相乘。 注：一个矩阵A成为酉矩阵，若满足A*A=I；一个方阵A称为半正定的Hermite矩阵，若A*=A，且对任意的xΣ，有xAx³0；对"a,bΣn，内积(a,b)定义为b*a；

n

*

TT

**

**

以上*均指共轭转置。