数一(考研数学历年真题)(1987-2004)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y=x 2取得极小值.

(2)由曲线y=lnx与两直线y=e+1 x及y=0所围成的平面图形的面积是_____________.

x

x=1

(3)与两直线

y= 1+t及

x+1y+2z+1

都平行且过原点的平面方程为_____________.==

111

2

z=2+t

(4)设L为取正向的圆周x+y=9,则曲线积分

2

∫

L

(2xy 2y)dx+(x2 4x)dy=_____________.

(5)已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1),则向量β=(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

x12

求正的常数a与b,使等式lim=1成立.

x→0bx sinx∫0

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求

u v,. x x

301 (2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110,求矩阵B. 014

四、(本题满分8分)

求微分方程y′′′+6y′′+(9+a2)y′=1的通解,其中常数a>0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设lim

x→a

f(x) f(a)

= 1,则在x=a处2

(x a)

(B)f(x)取得极大值(D)f(x)的导数不存在

(A)f(x)的导数存在,且f′(a)≠0(C)f(x)取得极小值

(2)设f(x)为已知连续函数,I=t(A)依赖于s和t

(C)依赖于t、x,不依赖于s(3)设常数k>0,则级数(A)发散(C)条件收敛

∫

st0

f(tx)dx,其中t>0,s>0,则I的值

(B)依赖于s、t和x(D)依赖于s,不依赖于t

∑( 1)n

n=1

∞

k+nn2

(B)绝对收敛

(D)散敛性与k的取值有关

*

*

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0,而A是A的伴随矩阵，则|A|等于(A)a(C)an 1

六、（本题满分10分）求幂级数

(B)

1

a

(D)an

1n 1

的收敛域，并求其和函数.∑n

n=1ni2

∞

七、（本题满分10分）求曲面积分

I=∫∫x(8y+1)dydz+2(1 y2)dzdx 4yzdxdy,

∑

z=1≤y≤3其中∑

是由曲线f(x)= 绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角

x=0

π

恒大于

2

.

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且

f′(x)≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.

九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组

1+x2+x3+x4=0x2+2x3+2x4=1

x2+(a 3)x3 2x4=bx1+2x2+x3+ax4= 1

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X

的概率密度函数为f(x)=的方差为____________.

、十一十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

x2+2x 1

,则X的数学期望为____________,X10≤x≤1 yy>0

,fY(y)=,fX(x)=

y≤00其它求Z=2X+Y的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(x 3)n

(1)求幂级数∑的收敛域.n

n3n=1

∞

(2)设f(x)=ex,f[ (x)]=1 x且 (x)≥0,求 (x)及其定义域.(3)设∑为曲面x+y+z=1的外侧,计算曲面积分I=

2

2

2

2

∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy.

∑

333

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)=limt(1+2tx,则f′(t)=_____________.

x→∞

1

x

(2)设f(x)连续且

∫

x3 1

f(t)dt=x,则f(7)=_____________.

2

1<x≤0

2

(3)设周期为2的周期函数,它在区间( 1,1]上定义为f(x)=级数在x=1处收敛于_____________.

x0<x≤1

,则的傅里叶(Fourier)

(4)设4阶矩阵A=[α,γ2,γ3,γ4],B=[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式

A=4,B=1,则行列式A+B=_____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)可导且f′(x0)=(A)与 x等价的无穷小(C)比 x低阶的无穷小

1

,则 x→0时,f(x)在x0处的微分dy是2

(B)与 x同阶的无穷小(D)比 x高阶的无穷小

(2)设y=f(x)是方程y′′ 2y′+4y=0的一个解且f(x0)>0,f′(x0)=0,则函数f(x)在点x0处(A)取得极大值

(C)某邻域内单调增加

(B)取得极小值

(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域 1:x2+y2+z2≤R2,z≥0, 2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0,则(A)(C)

∫∫∫xdv=4∫∫∫dv

1

2

(B)(D)

∫∫∫ydv=4∫∫∫ydv

1

2

∫∫∫zdv=4∫∫∫zdv

1

2

∫∫∫xyzdv=4∫∫∫xyzdv

1

2

(4)设幂级数

∑a(x 1)

∞

n

在x= 1处收敛,则此级数在x=2处

(A)条件收敛(C)发散

(B)绝对收敛(D)收敛性不能确定

(5)n维向量组α1,α2, ,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k1,k2, ,ks,使k1α1+k2α2+ +ksαs≠0(B)α1,α2, ,αs中任意两个向量均线性无关

(C)α1,α2, ,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α1,α2, ,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)

2u 2uxy

设u=yf(+xg(其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2+y.

yx x x y

五、(本题满分8分)

设函数y=y(x)满足微分方程y′′ 3y′+2y=2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2 x 1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为点M

沿直线y=

k

(k>0为常数,r为A质点与M之间的距离),质2r

自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

100 100

5

已知AP=BP,其中B=000,P=2 10,求A,A.

00 1 211

八、（本题满分8分）

200 200

已知矩阵A=001与B=0y0相似. 01x 00 1

(1)求x与y.

(2)求一个满足P 1AP=B的可逆阵P.

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f′(x)>0,证明:在(a,b)内存在唯一的ξ,使曲线

y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a …… 此处隐藏：9864字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……