构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法

分别给出构造奇n=2m+l(m为m≠3s+1,s=0,1,2,…的自然数)阶完美幻方和对称完美幻方的余函数·两步法和对称·两步法及其证明。这些方法可分别得到((n-1)!)^2和2m(2^m-1((m-1)!))^2个不同的虺阶完美幻方和对称完美幻方。

第 2卷第 1 5期2 1年 3 02月一=一一一—一

海南师范大学学报 (然科学版)自Jun l f a a oma U ies v N trl ce c ) o ra o i n r l nv r t( a a S in e H n N i u===一=:===—===—=:—==一=:—:=一一

V l5 o 02 . _ N 1Ma. 1 r02 2一一一

构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法王辉丰(南师范大学数学与统计学院，南海口 5 15 )海海 7 18

摘要：分别给出构造奇￣ n 2+ ( J= m 1m为 m s ls0 l2…的自然数 )￣#3+,,,,=阶完美幻方和对称

完美幻A的余函数 -两步法和对称 两步法及其证明这些A法可分别得到( - )和 . - n 1) !

2(一(一)不的阶美方对完幻 . m2 1)同 完幻和称美方 ( !个 )关键词：完美幻方；对称完美幻方；函数；余两步法中图分类号： 5 . 0 176 文献标识码： A文章编号：6 4 4 4 (0 2 0一 0 8 0 17— 9 2 2 1 ) l 0 2— 4

Th eTwo se e ho so n t uc i g O d r e r e t - t p M t d fCo s r t d O d rPe f c n M a i q a ea d S m m e rc l r e t a i q a e g cS u r n y t i a f c g cS u r Pe MW ANG i n Huf g e

( ol ef te ts n aii, ia om l nvrt,aku5 5,hn ) Clg Mahmai dS ttsHannN r a i syH i 7 8C ia e o c a t sc U ei o 1 1Ab t a t T et o se to so o s u t g o d r od rp r c gc s u r n y s r c: h w - tp meh d fc n t ci d t r e ef tma i q ae a d s mmer a efc gc r n e tc lp re tma i i

s a rgea odT smtdmybi(一) a 2 1) dennrre q rweinnpv .he eo aoa ( 1‘n 2( (一)。 irt d r uee v dre e h s t ! d n )一 ( ! fe oe— ) f pf e g cs

u r s s mmefe p r c g cs u r e p ei l . et ma i q a e, y t￣ ef t i e ma i q a er s e t y we

Ke r:efc t c l gcs u r;y y wo dsp re t r a i q a e smmer a efc gc;eiu lu cin t— tpmeh d mei ma ti l re t c p ma i rsd a n t;wo se to f o

文[][】论了奇数阶完美幻方和对称完美 1、讨 2

的自然数 . 证明由文【】备定理的证明知， n 2 1 4预对= m+ (为 m≠3+1tO 1 2…的自然数 )当 i1 m￡,=,,,,=, 2…,时，( i和 r( 1 )取遍 1n的自然， n rm ) (m+ )都~

幻方； 3文【首次定义了余函数，】并采用余函数的方法构造了奇数阶对称完美幻方； 4进一步利用文[】余函数法构造奇数阶完美幻方、对称完美幻方；对奇数阶幻方制作成一种易于操作的“幻方生成器”, 取得了专利权[在此基础上， 5 1 .我们改变余函数法中第二步的顺移方式，可构造出奇数阶完美幻方和也

数.显然，对于奇数 i2+ (=,, m)有= k 1k0 l…,,r (m一 )) rm (k 1 ) 1 i= (一 3+ ), r( 2 )rm+ 3+ ); (m+ )= ( ( k 2 )

对称完美幻方.这使余函数法成为一套较为完整的构造方法 .

对于偶数 2 (=,, m)有 k l2…,,r (m一 )i= ( m一 3一 ),(m+ ) ) r3 ) 1 ) r2 ( k 1 )r ( 2 = ( I . j}

首先，对文【的余函数 3】

1对 n 2 l 2 3) 1 6+ ( 1 2…为自然 )= m+= ( t+= 1,,时

)

当。

数 )当i2+ (=,, 1时，,= k 1kO… t )由余函数定义知：— r ( 1 i= ( (k 1 )一个 3一~公差为一 ( m一 )) rm一 3+ )是 t12 3的等差有限数列； 当 i2+ (=,,t 1时，( m 1= (一= k 1 f… 3一 ) r一 )) r, n (k 1 ) 3+ )是一个 6 3 f公差为一的等差有限数列；~ 3当 i2+,= t,(m— )) rm一 3+ )== k 1k 3时 r( 1= ( ( 1 ) rO= tl ( ) 6+;

(、自然数， I

表示 t n nt是 t 被整除，t r o e表示其他 h情况， 表示 t以n ( )除的余数，显然 rf是周期函 ( )数 )明如下证预备定理对 n 2 1m为 m≠3+,=,,= m+ ( s 1s0 l

2…的自，然数)当=,, n则 r一1, l…,时， ( 2 ( )) ,

r )^+ )) ( 2i都各自 (, ( 1i和r+ )) f, ( ( 取遍 l ￣ n收稿日期： 1 1一 5 2卜 O 1 0

当i2 (=,,, ),=kk l2… 2时由余函数定义知： t