2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.1 1.1.2 瞬

1．1.2 瞬时变化率——导数

如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．

问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？

提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．

问题2：割线PP n 斜率是什么？

提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0

. 问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？

提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．

问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？

提示：能．

1．割线

设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．

2．切线

随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.

一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间．

问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？

提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－3(1＋Δt )2－8＋3×12

Δt ＝－6－3Δt .

问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？

提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.

1．平均速度 运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．

2．瞬时速度

一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt

无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

3．瞬时加速度

一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt

无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

1．导数

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx

＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

2．导数的几何意义

导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．

3．导函数

(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．

(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．

1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．

2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函

数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

[对应学生用书P5] [例1] 已知曲线y ＝x ＋1x

上的一点A ???2，52，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率；

(2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f (2＋Δx )－f (2)Δx

，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值． [精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －????2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )

＋Δx ， ∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋Δx Δx ＝－12(2＋Δx )

＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34， 即点A 处的切线的斜率是34

. (2)切线方程为y －52＝34

(x －2)， 即3x －4y ＋4＝0.

[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切

线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，Δy Δx

无限趋近的常数．

1．曲线y ＝－12

x 2－2在点P ????1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ????1，－52，Q ???

?1＋Δx ，－12(1＋Δx )2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12(1＋Δx )2－2＋52Δx ＝－12

Δx －1. 当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12

x 2－2在点P ????1，－52处的切线的斜率为－1.

答案：－1

2．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．

解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0

＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4＋2Δx . 当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，

因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3，

所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.

即P 点坐标为(3,30)．

答案：(3,30)

3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．

解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))，

则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx

＝5＋3Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.

[例2] s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．

[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．

[精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔS Δt

＝4a ＋a Δt .

当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt

无限趋近于4a . 所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s.

故4a ＝8，即a ＝2.

[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变

量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt

无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．

4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．

解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，

所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt

＝－1－Δt . 当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt 无限趋近于常数－1.

故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.

答案：－1

5．如果一个物体的运动方程S (t )＝?????

t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．

解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，

则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt

＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2，

所以v (1)＝2；

∵t ＝4∈[3，＋∞)，

∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，

∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt

＝3Δt 2＋6·Δt Δt

＝3·Δt ＋6， ∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔS Δt

→6， 所以v (4)＝6.

[例3] 已知f (x )＝(1)求f (x )在x ＝2处的导数；

(2)求f (x ) …… 此处隐藏：5046字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……