第一类换元积分法(一)

第一类换元积分法(一)

第一类换元积分法(一) 第一类换元积分法 一

第一类换元积分法(一)

1 1. 利用 dx = d(ax + b), a

3.利用三角函数的恒等式. .利用三角函数的恒等式. 4.利用代数恒等式 .

第一类换元积分法(一)

一、原函数的定义 二、不定积分的定义 三、基本积分公式 四、不定积分的性质

第一类换元积分法(一)

引例： 引例：求 解

∫

sin 2 x cos xdx .

∫

sin 2 x cos xdx第一换元积分， 第一换元积分，也称凑微分

= ∫ sin 2 x dsin x1 3 = sin x + C . 3

第一类换元积分法(一)

第一换元法(凑微分法) 第一换元法(凑微分法)

∫ f ( x )dx = ∫ f1 (u ( x )) u ' ( x )dx

= ∫ f1 (u ( x )) d (u ( x ))= F1 ( u ( x )) + C

第一类换元积分法(一)

1 均为常数， 1. 利用 dx = d(ax + b), a, b 均为常数，且 a ≠ 0. a 例 1 求 ∫ sin( 3 x + 2) dx .

解

对照基本积分表， 对照基本积分表， 上式与表中

∫ sin x dx 相似 ，

如果把 dx 写成了 d(3x + 2), 那么就可用 ，

∫

代入式中， 代入式中， 那么

1 sin xdx = cos x + C , 为此将 dx 写成 dx = d( 3 x + 2), 3

∫

令 3x + 2 = u 则 1 1 1 ∫ sin udu = 3 cos u + C = 3 cos(3 x + 2) + C . 3

1 sin( 3 x + 2) dx = ∫ sin( 3 x + 2) d(3 x + 2). 3

第一类换元积分法(一)

例2 解

求

(4 x + 5) 99 dx . ∫

上式与基本积分表中

∫

1 x dx = x µ +1 + C µ +1µ

1 相似， 相似， 为此将 dx 写成 dx = d(4 x + 5)代入式中, 那么 4 1 99 (4 x + 5) dx = ∫ (4 x + 5) 99 d(4 x + 5), 令 4x + 5 = u, , ∫ 41 100 1 1 99 u +C= (4 x + 5)100 + C. u du = 则，原式 = 400 400 4

∫

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例3 解

求

∫

dx . x +1

上式与基本积分表中

∫

1 dx = ln | x | + C 类似. x

代入式中， 为此将 dx = d(x + 1) 代入式中， 那么

∫

dx d( x + 1) = = ln | x + 1 | + C . x +1 x +1

∫

第一类换元积分法(一)

1 2 2. 利用 xdx = d(x + a), 21 x dx = d( x3 + a), 3 1 dx = dlnx , x2

sin xdx = d cos x,

cos xdx = d sin x,sec2 xdx = d tan x,

1 1 dx = d , 2 x x

csc 2 xdx = d cot x ,等等. 等等.

1 dx = 2d x , x

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例4 解

求

∫ xe

x2

dx.

因子凑微分， 将被积分式中的 xdx 因子凑微分，即

1 2 xdx = dx . 2则

∫

1 x2 2 1 x2 xe d x = e dx = e + C 2 2x2

∫

经求导验算， 经求导验算， 即 结果正确 .

1 x2 x2 e + C ′ = xe . 2

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例5

求

∫

ln x dx . x

解 将被积分式中的

1 凑微分， dx 因子 凑微分，即 x

1 dx = d( ln x ). x则

ln x 1 2 ∫ x dx = ∫ ln xd ln x = 2 ln x + C .

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例6 求 ∫ (lnx)

x 2d x

解 ∵1 dx = d(ln x) , x

dx 2 ∴∫ (ln x) = ∫ (ln x) d(ln x) x 1 3 = (ln x) + C. 32

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1 dx . 例7 求 ∫ x (1 + 2 ln x )解

1 1 ∫ x(1 + 2 ln x )dx = ∫ 1+ 2 ln xd (ln x) 1 1 = ∫ d ( +2 ln x) 1 2 1 + 2 ln x

u = 1+ 2ln x +1 1 1 = ∫ du = ln u + C 2 u 2

1 = ln 1 + 2 ln x + C . 2

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例8 解

求

∫2

sin 2 x cos xdx .

∫

1 3 sin x cos xdx = sin x dsin x = sin x + C . 3

∫

2

1 1 sin dx . 例9 求 2 x x 1 1 1 1 1 解 ∫ x2 sin x dx = sin x d x = cos x + C .

∫

∫

例 10 解

求

ex ∫ 1 + e x dx .

∫

ex d(e x +1) =∫ x = ln(e

x + 1) + C . x dx 1+ e e +1

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3.利用三角函数的恒等式. .利用三角函数的恒等式.例 11 求 解

∫ tan xdx.sin x dx

∫ tan xdx = ∫ cos x

= ∫ dcos x cos x= ln | cos x | + C .

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sin 2 xdx . 例 12 求 ∫解

sin 2 xdx ∫1 cos 2 x dx =∫ 2 1 = ∫ d x ∫ cos 2 xd x 2 1 1 = x ∫ cos 2 xd 2 x 2 2

(

)

1 1 = x sin 2 x + C . 2 4