本科数学专业论文

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

高中数学中轨迹方程的求解方法探讨 The discussion on the trajectory equation solution methods in the high school mathematics

姓 名： 刘 通 学 号： 0807010069 学 院：数学与信息科学学院

专 业： 数学与应用数学

指导老师： 饶丽萍(副教授) 完成时间： 2012年4月30日

声 明

本人郑重声明：

所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而作的材料。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意。

本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学所有。

特此声明。

声明人（毕业设计（论文）作者）学号：0807010069 声明人（毕业设计（论文）作者）签名：刘通

签名日期： 2012年 5 月 5 日

高中数学中轨迹方程的求解方法探讨 刘通

【摘要】作为高中数学的一个重要组成部分，轨迹方程的求解在高考中自然

据相当比重.轨迹问题，是每年高考必考的内容，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，则能很好地反映学生在这些方面能力的掌握程度.可见，对轨迹问题的研究是非常重要的.由于轨迹是平面上所满足条件的动点的集合，而动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，并且轨迹的求解方法也多种多样，再加上轨迹问题的运算量比较大以及由此带来的“重”和“漏”等问题，学生对此类问题往往是望“题”兴叹.下面结合近几年高考题及典型问题，对轨迹问题作一个分析.

【关键词】高中数学 轨迹方程 求解方法

The discussion on the trajectory equation solution methods in the high school mathematics Tong Liu

【Abstract】As an important component of high school mathematics, the solution

for the trajectory equation occupies an important position naturally. Trajectory equation questions are the basic contents in the university entrance examinations, especially testing students’ innovative consciousness is the breakthrough of The nowadays college entrance examination reform, which pays much attention on testing students’ abilities of Logical thinking, operation, analysis and solution of the problems. The trajectory equation hot spot can reflect how much the students master very well. So it is very important to research the trajectory equation problems. Trajectory is the set of the fixed points which meet some conditions, the conditions of the motion tracks differ in thousands of ways, the solutions for the trajectory equation are various, the trajectory questions computation is complex, and the repetition or omission take place sometime, students always have no idea when they face the questions. Below we will analyze the trajectory questions combining recent years’ college entrance examination questions and typical questions.

【Key words】The high school mathematics Trajectory equation Solutions

目录

1 引言 1 2 实际问题的处理 1 2.1直译法 1 2.2定义法 2 2.3参数法 4 2.4交轨法 5 2.5代入法 8 2.6待定系数法 9 2.7点差法 10 3 思路拓展：轨迹方程在物理解题中的应用 11 3.1利用匀变速直线运动的轨迹方程解题 11 3.2利用平抛运动轨迹方程解题 12 3.3利用圆的方程解决带电粒子的运动问题 13 4 应注意的问题 14 参考文献 17

1 引言

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）.在高中数学中轨迹一般是曲线. 轨迹问题，是高考考查的热点内容，特别是当今的新课标高考以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力. 由于轨迹是平面上所满足条件的动点的集合，而动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，求解方法自然多种多样.

2 实际问题的处理

2.1 直译法：直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法.

2

【例1】已知点A( 2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA PB x，则点P的轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

解：PA ( 2 x, y),PB (3 x, y) ， PA PB ( 2 x)(3 x) y2

x2 x 6 y2. 由条件，x2 x 6 y2 x2，整理得y2 x 6，此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选D.

【变式】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2 y2 1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数 0 ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

解：设M(x，y)，直线MN切圆C于N， 则有

MNMQ

，即

MO ON

MQ

22

，即

x2 y2 1(x 2) y

2

2

．

整理得( 2 1)x2 ( 2 1)y2 4 2x (1 4 2) 0，这就是动点M的轨迹方程． 若 1，方程化为x

55

，它表示过点(,0)和x轴垂直的一条直线；

44

2 22 221 3 22

,0)为圆心，若 1，方程化为(x 2 y 2，它表示以(2

2

1 1( 1)

3 2

1

2

为半径的圆．

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

2.2 定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．

【例2】设动点P到点A( 1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2， APB 2 ，且存在常数 (0 1),使得d1d2sin2 .证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程

2

解：在△PAB中，AB 2，即22 d12 d2 2d1d2cos2 ，

也就是4 (d1 d2

)

2 4d1d2sin2 ，

即d1 d2

2（常数），

点P的轨迹C是以A，B为焦点 …… 此处隐藏：7969字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……