数学模型第四版课后答案姜启源版

数学与应用数学

《数学模型》作业答案

第二章(1)（2012年12月21日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；

（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3, 相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

p1 235, p2 333, p3 432, 方法一（按比例分配） q1

p

i 1

3

i

1000.

p1N

p

i 1

3

2.35, q2

p2N

i

p

i 1

3

3.33, q3

p3N

i

p

i 1

3

4.32

i

分配结果为： n1 3, n2 3, n3 4 方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1 2, n2 3, n3 4

数学与应用数学

第10个席位：计算Q值为

235233324322

Q1 9204.17, Q2 9240.75, Q3 9331.2

2 33 44 5

Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1 2, n2 3, n3 5

方法三（d’Hondt方法）

此方法的分配结果为：n1 2, n2 3, n3 5

此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.

pi

是ni

每席位代表的人数，取ni 1,2, ,从而得到的近.

pip

中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini

再考虑N 15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t到t t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt (r wkn)2 kdn,两边积分，得

t

vdt 2 k (r wkn)dn

n

2 rk wk22n2

vt 2πk(r n wk) t n n.

2vv

《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

数学与应用数学

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．

10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

C(T)

c1c2rT kr T2

ccrdC

12 2 dT2T

令

dC

0 ， 解得 T* dT

2c1

c2r2c1r

c2

由Q rT ， 得Q rT

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

20 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

1

C(T,Q)

T

c2Q2c32c (rT Q) kQ 1

2r2r

c1c2Q2c3rc3Q2kQ C

2 2 22 T2T2rT2rTT

cQk Cc2Q

c3 3 QrTrTT

C

0 T

令 ， 得到驻点：

C

0 Q

Q

T

2c1c2 c3k2

rc2c3c2c3

2

2

c3kr2c1rc3kr

c2c2 c3c2(c2 c3)c2 c3

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

数学与应用数学

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，

k r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间 0 t T0 一边生产一边销售，后来的

一段时间(T0 t T)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k r和k r的情况.

解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：

T

(k r)T0 T

2

贮存费为 c2lim

t 0

g( i)

ti c2 g(t)dt c2

i 1

又 (k r)T0 r(T T0) T0

rr(k r)T TT , 贮存费变为 c2 k2k

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

c1c2r(k r)T2c1r(k r)T

c2 C(T) T2kTT2k

cdCr(k r) 12 c2. dT2kTdC

0 , 得T dT

令

2c1k

c2r(k r)

2c1k

c2r(k r)

易得函数C(T)在T处取得最小值，即最优周期为： T

当k r时，T

2c1

. 相当于不考虑生产的情况. c2r

数学与应用数学

当k r时，T

. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）

3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度 与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: (b)

k

， b 1

中的1是防止b 0时 而加的. 分母b 1

c1 t12c1 2t12(b 1)c2 t1x(b 1)

总费用函数C x c3x

22(kx b )kx b

最优解为 x

ckb

1

2

2c2b(b 1) (b 1)(b 1)

2

k2c3k

5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设

q(t) q0 t， 为增长率.又设单位时间的销售量为x a bp(p为价格).今将销售

期分为0 t T

和T

t T两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，

使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0，再求p1,p2的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为

a bp1,0 t x

Ta bp2, t T

又 q(t) q0 t.于是总利润为

(p1,p2)

T

p1 q(t) (a bp1)dt T p2 q(t) (a bp2)dt

T

T 2 2

=(a bp1) p1t q0t t 2 (a bp2) p2t q0t t T

2 2 02

p1Tq0T T2p2Tq0t3 T2

) (a bp2)( ) =(a bp1)(228228

数学与应用数学

p1Tq0T T2T

b( ) (a bp1) p12282p2Tq0t3 T2 T

b( ) (a bp2) p22282

令

0, 0, 得到最优价格为: p1 p2

1 T

p a b(q ) 0 12b 4

13 T p2 a b(q0 ) 2b4

在销售期T内的总销量为

Q0 (a bp1)dt T(a bp2)dt aT

2

T

20

T

bT

(p1 p2) 2

于是得到如下极值问题：

p1Tq0T T2p2Tq0t3 T2

max (p1,p2) (a bp1)( ) (a …… 此处隐藏：6748字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……