2015-2016学年高二数学教学课件：3.1.1《两角和与差的余弦》(苏

3.1.1

两角和与差的余弦

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1.理解两角差的余弦公式的推导与证明过程，并能利用它推导 出两角和的余弦公式. 2. 掌握两角和与差的余弦公式， 熟悉公式的结构特征及其功能.

典 例 剖 析

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利用公式求值

3π π 3 12 已知 sin α =- ,sin β = ,且π <α< , <β <π , 5 13 2 2 求 cos(α-β),cos(α+β).

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分析： 解答本题的方法主要是公式的直接运用， 在解答过程中要 注意角的取值范围.

3π 3 4 解析：∵sin α=- ,π<α< ,∴cos α=- . 5 2 5 12 π 5 ∵sin β= , <β<π,∴cos β=- . 13 2 13 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 4 5 3 12 = -5 × -13 + -5 × 13

16 =- , 65 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 5 3 12 = -5 × -13 - -5 × 13

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=

56 . 65

方法指导：应用两角和的余弦公式易出现的错误有两点： (1)cos(α+β)=cos α+cos β; (2)cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. 第一点是认识上的错误， 只凭想当然认识公式， 第二点是公式记 忆上的错误.栏 目 链 接

变式训练 1. 求值： cos(α+25°)cos(α-20°)+sin(α+25°)· sin(α-20°).

分析：逆用公式，要注意公式的结构特点. 解析：原式=cos[(α+25°)-(α-20°)] =cos 45°= 2 . 2

利用角的变换求值

4 4 已知 cos(α-β)=- ,cos(α+β)= ,且 90°<α -β<180°, 5 5 270°<α+β<360°,求 cos 2β 的值.

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分析： 分别视 α-β, α+β 为角的整体， 则 2β=(α+β)-(α-β), 运用两角差的余弦公式.

4 解析：∵cos(α-β)=- ,且 90°<α-β<180°, 5 ∴sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 4 2 3 1- -5 = . 5

4 又∵cos(α+β)= ,且 270°<α+β<360°, 5 ∴sin(α+β)=- 1-cos2(α+β)=- ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 4 4 3 3 = × -5 + -5 × =-1. 5 5 4 2 3 1- 5 =- . 5

变式训练 π 3 12 3 2.已知 <β<α< π ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 cos 2 4 13 5 2α 的值.

π π 3 解析：∵ <β<α< π,∴0<α-β< . 2 4 4 5 ∴sin(α-β)= . 13 3 4 而π<α+β< π,∴cos(α+β)=- . 2 5 ∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]= 12 4 5 3 33 × -5 - × -5 =- . 13 13 65

公式的活用

1 1 已知 cos x+cos y= ,sin x-sin y= ,求 cos(x+y)的值. 2 3

分析：由于 cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y,当 cos x,cos y, sin x,sin y 不易求的时候，有时可考虑整体构

造出含 cos xcos y,sin xsin y 的式子，进而逆用公式求之.

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解析：两式平方和： 1 1 cos2x+2cos xcos y+cos2y+sin2x-2sin xsin y+sin2y= + , 4 9 即 2+2(cos xcos y-sin xsin y)= ∴2+2cos(x+y)= ∴cos(x+y)=- 13 . 36 13 , 36

59 . 72

变式训练 2 3.若 sin x+sin y= ,求 cos x+cos y 的取值范围. 2

1 解析： 令 cos x+cos y=m, 则(sin x+sin y)2+(cos x+cos y)2= + 2 m2, 1 即 2+2(cos xcos y+sin xsin y)= +m2, 2 1 3 ∴cos(x-y)= m2- . 2 4 ∵-1≤cos(x-y)≤1, 1 3 ∴-1≤ m2- ≤1. 2 4 ∴- 14 14 ≤m≤ . 2 2

∴cos x+cos y 的取值范围是 -

14 14 . , 2 2