毕奥_萨伐尔定律的推导

第28卷第1期 2006年3月湘潭师范学院学报(自然科学版) JournalofXiangtanNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Vol.28No.1

Mar.2006

毕奥-萨伐尔定律的推导

付林兴,邓志武

(湖南冶金职业技术学院,湖南株洲412000)

摘 要:应用相对论的洛仑兹变换,从静电场的库仑定律导出磁场的毕奥-萨伐尔定律,从而说明磁场力是电场力的相对论效应。

关键词:库仑定律;毕奥-萨伐尔定律;电磁场;洛仑兹变换;相对论效应

中图分类号:O44 文献标识码:A 文章编号:1671-0231(2006)01-0028-02

1785年法国物理学家库仑(A.deCoulomb)从扭秤实验结果总结出点电荷之间相互作用的静电力所服从的规律 库仑定律。

q1q2F12=k3r12r12

这是静电场理论的基础,它与叠加原理相配合,原则上可以求解静电学的全部问题。

电流元激发的磁场的规律是法国物理学家毕奥-萨伐尔(Biot-Savart)研究和分析很多实验的资料后总结出来的电流产生磁场的基本规律 毕奥-萨伐尔定律

0dB= r4 r毕奥-萨伐尔定律由于实验上无法得到电荷能在其中作恒定运动的电流元,因而不能直接由实验验证,但当把它应用到各种电流分布时,计算得到的总磁感应强度和实验测得的结果相符,因而间接证明了其正确性。

这两条定律分别是在不同年代从实验总结出来,分别反映出静电场和稳恒磁场的基本规律。定律形式相似,均遵从与距离成平方反比律。静电场是静止电荷激发的场,磁场是运动电荷激发的场,而运动和静止是相对概念。在一个惯性系中观察到物体是静止的,而对另一个惯性系来说则是运动的。所以在不同惯性系中,观察到描写场状态的物理量应不相同。静止的参照系中观察到电荷激发的是电场,而在运动的参照系中观察到的就是电磁场,这正是电磁场的统一性。所以毕奥-萨伐尔定律应能运用相对论的洛仑兹变换从库仑定律导出。

1 运动电荷的电磁场

选取两个相对运动的惯性系S、S!。设有一点电荷q静止在惯性系S!的原点O处,S!相对于S系以速度 沿x轴方向运动,如图1

所示。

图1 S和S!系的时空变换关系图2 运动电荷的电磁场 收稿日期:2005-11-12

基金项目:湖南省普通高等教育教学改革研究项目(湘教通[2005]280)

作者简介:付林兴(1956-),男,湖南长沙人,讲师,研究方向:高等物理教学。

S!内观察者认为:空间只有静电场,t 时刻S!内空间任一点p 处的电磁场

E!=r! B!=04 !0r

S内观察者认为点电荷q以速度 沿x轴方向运动,除观察到它产生的电场外还观察到它产生的磁场。运用相对论的洛仑兹变换关系,可得到S系中、E、B与S!系中E!、B!之间的变换关系为:

!!Ex=Ex Bx=Bx

Ey= (E!B!y+ z)

Ez= (E!B!z- y)By= (-!!2Ez+Ey)c!!Bz= (Ey+Ez)cS系中观察者在t时刻观察到P(x,y,z)处的电磁场为:

Ex=Bx=04 !0rBy=- 2Ey= c4 ! 0r4 !0rBz=- Ez= c4 !0r4 !0r

2注意到r!=(x!2+y!2+z!2)1/2=[ (x-t)2+y2+z2]1/2

Ex=22Bx=04 !t)+y2+z2]3/20[ (x-

则 qyEy=4 !t)+y+z] 0[ (x- Ez=24 !t)2+y2+z2]3/20[ (x-

由此可见,S系中观察到的以速度 运动的电荷q产生的场为两部分:

第一部分为与电荷q的速度无关的电场

E=Exi+Eyj+Ezk

它与静电场是有差别的。没有中心对称性,描述场的电力线密集于电荷运动的垂直方向,且密集程度与电荷q运动速度密切相关。第二部分为与电荷q运动速度 有关的磁场B=2 E,当电荷低速运动时,c

B= r,4 !0cr

它垂直于 与r组成的平面,磁力线是以运动电荷轨迹为轴的一组同心圆。Ezc2Bz=-EycBy=-

2 电流元的磁场

通电导线中电子的流动可认为是连续的,电子流动产生电场和磁场,其电场部分为晶格正电荷产生的静电场几乎抵消,余量也是一个高阶小量,可略去。剩下的就是宏观上用实验仪器能探测到的磁场部分,这正是毕奥-萨伐尔定律表明的稳恒磁场。

,导线内电荷体密度为#,则电流元Idl设单位时间内通过导线截面S的电量为I=dt

=#dq=#dv=#sdl I==s dtdt

电流密度 j=# I=

代入 B=##j ds Ec2

0即得 dB= r r=4 r4 !0cr

这正是毕奥 萨伐尔定律。

由此可见,磁场力是电场力的一种相对论效应。