武汉大学线性代数课件1-1、2

二(三)阶行列式

排列与逆序n 阶行列式的定义 行列式的性质

行列式概念的形成 (定义)

行列式按一行(列)展开Cramer 法则

行列式的基本性质及计算方法

利用行列式求解线性方程组

第一节 n 阶行列式的定义及其性质

一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

1 2

1 a22 : 2 a12 :

a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,

两式相减消去 x2,得

(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;

类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 ,当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为

b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21由方程组的四个系数确定.

(3)

定义

由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列)的数表

a11 a12 a21 a22 ( 4)

表达式 a11a22 a12a21称为数表( )所确定的二阶 4 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22即

( 5)

a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22

二阶行列式的计算主对角线 副对角线

对角线法则 a11a22 a12a21 .

a11 a12

a12

a22

a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .若记 系数行列式

a11 a12 D , a21 a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 a12 D , a21 a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .b1 D1 b2 a12 , a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 a12 D , a21 a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .b1 D1 b2 a12 , a22

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .a11 b1 D2 . a21 b2

则二元线性方程组的解为

b1

a12

a11

b1

D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22注意

D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22

分母都为原方程组的系数行列式.

例1 求解二元线性方程组

3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.解

D

3 2 2 1 1

3 ( 4) 7 0,

D1

12 2 1

14, D2

3 12 2 1

21,

D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7

二、三阶行列式对三元线性方程组

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3

将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：a22 a33 a23 a32 ; a13 a32 a12 a33 ; a12 a23 a13 a22然后相加得方程：(a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13a22a31 ) x1 (b1a22 a33 a12 a23 b3 a13 b2 a32 b1a23 a32 a12 b2 a33 a13 a22 b3 )

若系数(a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 ) 0b1 a22 a33 a12 a2

3 b3 a13 b2 a32 b1 a23 a32 a12 b2 a33 a13 a22 b3 x1 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31

则有：

类似可得：b2 a11 a33 a31 a23 b1 a13 b3 a21 b3 a23 a11 a12 b1 a33 a13 a31 b2 x2 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 b3 a22 a11 a12 a31 b2 a21 b1 a32 b2 a11 a32 a12 b3 a21 a31 a22 b1 x3 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31

为方便记忆我们引入：

定义

设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)

记 a11

a31 a32

a21 a31

a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a32 a33

(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.

a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .

(2)对角线法则 a11 a12

a13 a23 a33

a21 a22 a31 a32

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明 1、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.