材力第二章第二讲

华中科技大学材料力学课件2014

材料力学Mechanics of Materials李 国 清华中科技大学E-mail: huang19681106@http://www.77cn.com.cn Tel: (27)87557446(Office)Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , China 版权所有, 2000,2005 (c) 华中理工大学力学系1

力学系

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第二章 轴向拉伸和压缩2.1 引言2.2 截面法 轴力及轴力图 2.3 应力 拉压杆的应力 2.4 拉压杆的变形 胡克定律 2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 2.6 安全因数 许用应力 强度条件 2.7 连接部分的强度计算 2.8 拉压超静定问题2

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律

变形如图

P轴向拉伸，轴向长度伸长，对应的横向长度缩短。

P

P轴向压缩，轴向长度缩短，对应的横向长度伸长。

P

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律

一、拉压杆的变形及应变 1、杆的纵向总变形：

a c x

b d

dL L1 LL

2、线应变：单位长度的线变形。

3、平均线应变：

dL L1 L L L4

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 P

a´ c´ x d x

b´ d´

P

L1 4、x点处的纵向线应变：

6、x点处的横向线应变：

d x lim x 0 x5、杆的横向变形：

ac ac

ac a c ac5

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 二、拉压杆的弹性定律,胡克定律 1、等内力拉压杆的弹性定律PL dL AFN L PL dL EA EA

P

P

2、变内力拉压杆的弹性定律N N( (xx ))

※“EA”称为杆的抗拉压刚度。FN ( x)dx EA( x) FN ( x)dx dL (dx) L L EA( x) (dx)

xdx

内力在n段中分别为常量时

dL

i 1

n

FNi Li Ei Ai6

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 3、单向应力状态下的弹性定律 (dx) 1 FN ( x) 1 dx E A( x) E

1 即: E

4、泊松比(或横向变形系数)

三、是谁首先提出弹性定律

或 :

弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般 认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于

力和变形成正比关系的记载。7

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记· 弓人》中“量其力，

有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)“ 胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之”

是什么意思 ? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓

的两端，然后加重物，测量。胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律

郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓

力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 其中 “ 两萧” 就是指弓的两端。 尺。

胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起，真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般 地加以描述的知识王国”。9

“

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 例6 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？ 求各杆的变形量△Li ,如图； A B

L1C L2

变形图严格画法，图中弧线； L2 变形图近似画法，图中弧之切线。

P C'

L1

C"10

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系 A L1 B

L1uB

L2

L2C

vB

B'

解：变形图如图2, B点位移至B'点，由图知： L2 vB L1ctg sin

uB L1

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过 为摩擦的滑轮。设 P=20kN,试求刚索的应力和 C点的垂直位

移。设刚索的 E =177GPa。解：方法1:小变形放大图法

A

B800

60° 60° DC 400 P 400 T P D

1)求钢索内力：以ABCD为对象o o m T sin 60 0 . 8 1 . 2 P 1 . 6 T sin 60 0 A

T P / 3 11.55kN

XA A YA

B

T

2) 钢索的应力和伸长分别为： T 11.55 10 9 151MPa A 76.3612

C

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 L TL 11.55 1.6 m 1.36 mm EA 76.36 177

A

B

60C ° 60° D 1 C 2

3)变形图如左图 , C点的垂直位移为：BB DD LC 2 sin 60 2 sin 60 1 2

B'

D'

A 800

B

60° 60° D C 400 P 400

L 1.36 2 sin 60 2 sin 60o 0.79mm

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 * 拉压杆的弹性应变能 一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存

与杆内，这种能成为应变能(Strain Energy)用“U”表示。二、 拉压杆的应变能计算：

不计能量损耗时，外力功等于应变能。N N( (xx ))dU dW 1 FN ( x) dx 2

2 F x dU N ( x) dx ( dx FN ( x) dx ) EA 2 EA

dx

U

L

2 FN ( x) dx 2 EA

内力为分 段常量时

2 FNi Li U i 1 2 Ei Ai n14

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律N( x) F N( x )

三、 拉压杆的比能 u: xdx

单位体积内的应变能。

FN(x) dxdx dxFN ( x)

FN(x)

dU 1 FN ( x) dx 1 u dV 2 Adx 2

dx

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2.4 拉压杆的变形 胡克定律 例7 设横

梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕过 为摩擦的滑轮。设 P=20kN,试求刚索的应力和 C点的垂直位

移。设刚索的 E =177GPa。解：方法2:能量法：

A

B800

60° 60°C 400 P 400 T P D

(外力功等于变形能) (1)求钢索内力：以ABD为对象：o o m T sin 60 0 . 8 1 . 2 P 1 . 6 T sin 60 0 A

XA A YA

B

T

T P / 3 11.55kN

C