从一道练习的多种解法谈起

从一道练习的多种解法谈起

连永欣

福建师范大学附属中学（350007）

在人教A版必修五第三章不等式的参考练习中

遇到一个初等的规划问题：

题1若变量y满足约束条件

x2 y2x， 1，

x 0，y 0，求x y的最大值．

解依题意画出可行域（非线性）如图1，考虑x y b，这是斜率为 1，随b变化的一族平行直线．b为直线在y轴上的截距，当直线与可行域相交时，截距的最大值即为所求．如图可知，当且仅当直线与可行域相切时，截距b

达到最大值．故

x

y然而，对于该图，笔者联想到一道相关试题，题目是以向量为背景给出的，实则本题的一个拓展：

BO图1

图2

A题2如图2所示，给定两个平面单位向量 OA

和

OB ，它们的夹角 AOB 2π，若点C的圆弧AB上运动，设 OC 3在以O为圆心

xOA yOB

，则x y的

最大值为此题是作为必修4复习题出现的，参考答案中给出的解法利用到了均值不等式：

解法 OC 1（均值不等式） xOA yOB ， OC 2 (xOA yOB

)2 OC ，

2 x2 OA 2 y2 OB 2 2xyOA OB ．

依题意有 OA 2 OB 2 OC 2 1， OA OB 1

2

．

代入上式可得x2 y2

xy 1（*），

从而1 x2

y2

xy (x y)2

3xy

(x y)2

3(

x y2(x y)2

2) 4

．当且仅当x y（即C为弧AB中点）时，等号

成立．

注解（*）式亦可由平行四边形四边平方和和对角线平方和关系得到[6]．

评析鉴于本题利用到了均值不等式，作为必修

4还未涉及的内容，绝大部分老师的意见分为两类，一是对证明过程中利用均值不等式的部分进行配方处理，这实际上是均值不等式的证明过程进入本题的解答；二是删除本题．

但事实上，本题完全可以避开均值不等式，而且有着完全不同的诸多解法．如：

解法2（内积法）

如图3，连接弦AB，取弧AB中点D，交弦弦 ABOC 于D

连接OD

xOA ，设OC与OD夹角为 ，则

yOB ， OA OC xOA 2 yOA OB x 1

y，

OB OC xOA 2

OB yOB 2 1

x y ( OA OB ) OC 2

，

(x 1y) ( 1x y) x y，

x y 2( OA 222

OB ) OC 2 OD

2| OC || OD

OC

| cos 2．当且仅当 0（即C为弧AB中点）时，等号成立．

评析作为本道习题的解法，通过内积运算，恰当的将两个相互制约的变量x，y统一表示成为了一个变量 ，此即消元法，从而避免了使用均值不等式的工具，算是完成了本题的讲评．

当然，问题到此还远没结束．此时有同学提出

了一个观点，从形式上看，关系 OC xOA yOB

与A，B，C三点共线的条件类似，能否利用此得到解答

呢？另外，我们通常习惯的坐标法，在此是否有效？

通过小组讨论，同学们得到了如下的两种解法：

BBA图3

图4

图5

解法3（共线法）令 OC 1 x y x yOC x yOA x yOB，

故C ，A，B三点共线，此时C 在弦AB上运动．1x y | OC |/| OC | | OC | d(O，l1AB) 2

．

其中d(O，lAB)表示原点O到AB所在直线的距离． x y 2当且仅当C 为垂足（即弦AB的中点，亦即C为弧AB的中点）时，等号成立．解法4（坐标法）

如图4，以O为原点，OA所在方向为x轴，作直角坐标系xOy，令 AOC ，依题意得各点的坐1标为：A(1，

0)，B( ，C(cos ，sin )，

22

代入OC xOA yOB，得到：

1 cos x y，x cos ，

2 即

sin y，

y ， π

x y cos 2sin( ) 2当且仅

6

π

当 （即C为弧AB中点）时，等号成立．

3

即为(x，故只要求当(x，y)．y)在圆弧AB上运动时，

x y的最大值．

令x y b，得到一族平行直线（#），当且仅当x y b与圆弧AB相切时取得最大值．根据对称性，

容易得到当相切时b 2．从而x y 2，当且仅当与圆弧AB相切（即C为弧AB中点）时等号成立．

注解这里解法5中的关键在于论断（#）：在斜坐标系中的规划问题．在斜坐标系中，直线与坐标系的截距依然与直角坐标时含义一致，但斜率的含义已经改变．故寻找平行直线族x y b时我们使用截距式[4]而非使用斜截式，故直线族在此与x轴正向

3π5π

的夹角为，而非通常的．

46

评析解法5，利用到了斜坐标系的相关知识，但更重要的是体现出的数形结合、直观感知的重要数学思想方法．当然，这对学生本身关于包括（线性）规划、斜坐标系等知识有深入的了解，要求较高．但无可厚非，作为填空题，解法5是最为快速有效的．

以上5种解法看似各不相同，但最终都解决了这道题目，也从某种程度上体现的数学的统一性[5]．

关于斜坐标系的相关内容与方法更详细的探讨可以参考[1，2，4]．

参考文献[1]邹生书．构建仿射坐标系解题[J]．河北理科教学研究，2012（2）：36-39[2]胡迎霞．斜坐标系的探究[J]．上海中学数学，2009（3）：36-37

[3]傅建红．斜坐标系下向量（点）坐标、直线方程及相关性质[J]．数学教学，2014（3）：24-28

[4]邓赞武．斜角坐标系中的直线方程及其应用[J]．中学数学研究，2008（2）：41-43．[5]阿蒂亚（英）．数学的统一性[M]．大连：大连理工大学出版社，2009[6]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．数学，必修4（A版）[M]．北京：人们教育出版社，2007

评析以上的解法3很好的利用了条件本身的结构形式，构造出了新的相关条件，而产生了较为简便的解法，与解法2类似．而解法4，同样消元转化成关于角度 的函数最值，从而可以利用三角恒等变换这一强大工具．

更重要地，解法3、解法4都是学生根据题目的条件，作了些看似简单的转化，并通过讨论自主得到的．所以在课堂上重视学生的些许结论，包括那些看似不起眼的结论，或许能得到完全新的、或者更简单的解法与思路．

回到所学的规划问题，事实上，我们可以得到一个更为简单的解法：

解法5（斜坐标法）

如图5，以O为原点，OA所在方向为x轴，OB所在方向为y轴作斜坐标系xOy，此时，C的坐标

导数应用中的函数不等式证明方法探索

吴邦良

四川省绵阳外国语学校（621000）

与读者分享．

题型已知函数f(x)，g(x)，求证：f(x) g(x)．其中函数f(x)或g(x)中含有sinx，cosx，ex，lnx．

方法1有理式替代法

近年来，在新课标下的高考对导数应用的考查

非常重视，全国卷或各省市卷都出在押轴题上，其中关于函数不等式的证明问题是命题热点，现对其中一类用“放缩法证明函数不等式”的方法进行探索，