人口增长的Logistic模型分析及其应用

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人口增长的

Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用

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熊　　　波（中南财经政法大学信息学院　　　武汉　　　４３００７０）中图分类号：Ｃ９２３　　　文献标识码：Ａ

基于以上考虑荷兰生物学家Ｖｅｒｈａｕｓｔ对原人口发展模型进行了改造，于１８３８　年提出了以昆虫数量为基础的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ　人口增长模型。这个模型假设增长率ｒ是人口的函数，它随着ｘ的增加而减少。最简单的假定是ｒ是ｘ的线性函数

，其中ｒ

称为固有增长率，表示ｘ→０时的增长率。由ｒ（ｘ）的表达式可知，ｘ＝ｘｍ时ｒ＝０。ｘｍ表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因

内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值ｘｍ和人口增长率ｒ，用Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。关键词：人口　　　Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型　　　迭代

再两边取对数，转化为线性形式，便于对ｒ进行估计，转化的结果为：

估计出固定增长率ｒ后代入到

中，代入相应的时间ｔ就可

以预测出未来各年的总人口数了。这里

为线性方程的前

提是：已知人口上限ｘｍ。因此在计算中会令ｘｍ为一特定的值（比如我国计生委认为的１６亿人口上限）。而在实际情况下，人口的上限是随着经济的发展与科学的进步是不断增大的，最后趋近于某一常数。其次，固定增长率ｒ是将Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型线性化后根据一元线性回归才能得到，虽然可以很好的通过Ｔ检验，但由于其回归的基础是确定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文将用迭代算法对人口上限ｘｍ和人口固定增长率ｒ进行计算。

算法基本思想是：　假设ｘｍ已知，　求得ｒ的最优估计，　然后把ｒ作为已知，　求出ｘｍ的最优估计，这样交替循环迭代直到收敛为止。

记

，于是有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）

代入

得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

因存在模型误差，　应以下述带误差的方程代替式（２）得：

表１　ｘ（０）＝１５时迭代结果表ｍ

０

ｘｍ差

１５０．６２

１１５．６２０．４０

２１６．０２０．１８

３１６．２００．０８０．０４０５

０．０００４

４１６．２８０．１２０．０４０１０．０００７

０．０３９４５１６．４０

人

口增长问题相关研究

最早注意人口问题的是英国经济学

家马尔萨斯，他在１７９８　年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记ｔ时刻的人口总数为ｘ（ｔ）。初始时刻ｔ＝０时的人口为ｘ０。人口增长率为ｒ，ｒ表示单位时间内ｘ（ｔ）的增量与ｘ（ｔ）的比例系数。那么，时刻ｔ到时刻ｔ＋Δｔ内人口的增量为ｘ（ｔ＋Δｔ）－ｘ（ｔ）＝ｒｘ（ｔ）Δｔ。于是ｘ（ｔ）满足下列微分方程的初值问题

，

。

由于Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。　本文也将采用Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型对我国人口进行分析。此就有ｇｉｓｔｉｃ模型。

为表达方便，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程常被改写成：

，这个模型就是Ｌｏ－

他的解为ｘ（ｔ）＝ｘ０ｅｒｔ。在ｒ＞０时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

人口增长模型的建立

要预测未来的人口，就必须先估计出人口增长率ｒ。ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型在数学上来讲是一个非线性模型，而非线性的方程是无法估计出ｒ值的。在利用ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型研究人口问题时，一般运用以下方法：先将ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型转化成线性模型，将ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型的解

０

　　　　　　　　　（３）

ｒ０．０４９６０．０４５１０．０４１７

差（－）０．００４５０．００３４０．００１２

表２　ｘ（０）＝１４时迭代结果表ｍ

１１４．９３

０．６５

２１５．５８０．４２

３１６．００．２００．０４１７０．００１２

４１６．２００．０８０．０４０５０．０００４

５１６．２８０．０４０１

ｘｍ差ｒ

１４０．９３

作进一步的

０．０６４５０．０５０４０．０４４５

形式转换得：

差（－）０．０１４１０．００５９０．００２８

从而在ｘｍ已知条件下，　利用最小二乘法估计参数ｒ，令当

最小时

，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）

由式（４）得：

由式（５）得参数ｒ的最小二乘估计

　　　　　　　　　　（６）

同理，由于存在模型误差，应以下述带误差的方程代替

得：　　　　　　　　　　　　　　（７）

式（７）中εｔ为独立、　均值为　０、　等方差的随机变量，　记

　（５），

由上述理论，本文取ｘｍ（０）＝１５，参数估计样本为１９７８年至２００４年的人口数。依照上述迭代的三个步骤，得到迭代结果如表１所示。

经过五次迭代，不难看出第四次迭代的结果最理想，因此，我们取ｘ＊＝１６．２８，

（０）

ｒ＊＝０．０４０１。这里ｘｍ的取值不会影响ｘ＊与（０）ｒ＊，它仅仅影响迭代的次数。比如当ｘｍ取

近人口极限，人口增长的阻滞作用越大。很大程度上需要政府制定相应的人口政策，限制人口的自然增长。所以人口政策的实行实际上就是人口增长阻滞作用的执行方式，对人口增长具有极其重要的影响。而人口政策的实行往往跟人口数量有密切的关系，会伴随着人口的变动而具有一定的波动性，人口的增长率也会随着人口政策的波动而相应的有一些起伏。但是人口的整体增长情况仍将符合模型的预测。

利用模型可以估计出未来各年的人口数量如表５。由表５可知，到２０３５年中国的人口将达到１５．２１亿，虽然还没有到达理论上的人口上限，但是在现实社会中，为了保证社会的稳定，政府绝对不会让人口数量达到理论人口上限的。也就是说当人口接近于人口上限的时候，人口政策很可能会发生变化，再加上中国人口老龄化和性别比的失调的进一步加剧，到２０３５年之后模型可能就不再适用了，所以对２０３５年之后的人口不再作预测。

（二）结果分析

从预测的结果看，我国未来几十年内的人口压力还是非常大的。加上老龄化和性别比例失调的加剧，人口政策将面临新的挑战。我国今后的人口政策应逐步转变为以调整人口结构为主、控制人口数量为辅，逐步调整人口年龄结构和人口城乡结构。

特别要注意的是，　调整生育政策需要时间和精心设计，同时要由国家计生部门支持和监督 …… 此处隐藏：1982字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……