人教版高中数学必修4第二章 平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》

2.3.1平面向量的基本定理

设e1、e2 是同一平面内的两个不共

线的向量，a 是这一平面内的任一向量，

e2之间的关系。 我们研究 a 与 e1 、e1研究 a

e2

OC = OM + ON =

即 a=

1OA + 2OB 1e1+ 2e2 .M

e1

C

a

A

e2O

e1

a Ne2

B

平面向量基本定理

e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。

思考 (1)一个平面向量的基底有多少对？ (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E

思考(2)若基底方向相同而模不同，则表示同一

向量的实数 1 、 是否相同？ 2 FOC = OF + OE

MB

C

OC = 2OA + OE AOC = 2OB + ON

a NE

O

特别的，若 a = 0 ,则有且只有 ：

1 = 2 = 0可使 0 =

?若 1与 2 中只有一个为零，情 况会是怎样？

1e1 + 2e2 .

特别的，若a与 e( )共线，则有 1 e2

2 =0( 1 =0),使得: a = 1e1 + 2e2 .

例3:已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2 Ce2

B

Ae1 2.5e1

3e2

· O

例4如图所示，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 M, 且 AB a , AD b,用a、 b表示MA 、 MB、 MC、 MD ?

C

B

D Ae1

C M B

· O

A

例5

ABCD中，E、F分别是DC和AB

的中点，试用向量方法判断AE,CF是否 平行？

D

E

C

A

F

B

解：设AB= a,AD= b. D E、F分别是DC和 AB的中点, AE= AD+1 DE F = b+ 2 a A

E

C

B

AE= - CF AE与CF共线，又无公共点 AE,CF平行.

1 CF= CB+ BF = -b - 2 a

总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题

例5、 如图，已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请在图中确定 D 一组基底，将DC、 BC、MN所在向量 用这组基底表示 A 出来。

M

C

N

B

解析： 设AB = e1,AD =1 1 DC = 2 AB = 2e1

e2,则有：

BC = BD + DC =(AD–AB)+DC 1 1 = e2 - e1+ 2 e1 = - 2 e1 + e2 MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC1 = 2 e1 - e2 1 = 4 e1 - e21 - 4 e1

C

.

A

N

B

评析

能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。

思考设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线

AB与BD共线，则存在实数λ使得AB = λBD.