典型极限问题的求解方法

典型极限问题的求解方法大全

典型极限问题的求解方法

学 院： 数学科学学院 年 级： ****级

专 业： 数学与应用数学 姓 名： *** 学 号： *** 指导教师： ***

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摘要

极限是高等数学中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。

本文首先讲述了常用的求极限的方法，这是综合求极限方法的基础和前提。本文的重点在第三章和第四章。分别针对两种典型的极限形式，即limu(x)v(x)（只讨论1 型的

x x0

情况）和lim f(k)分别作出了具体的研究。主要工作有以下几个方面:

n

k 1

n

（1）提出公式：limu(x)v(x)=ex x0

x x0

limv(x) u(x) 1

（2）提出定理并给以证明：设函数f(x)在[0,1]上可积，则

lim

n

i 1

n

i11

f()= f(x)dx nn0

（3）提出该定理的推论并给以证明：设函数f(x)在[0,1]上可积，且f(x) 0，则

ln f(x) dx =e 0

n1

（4）提出定理并给以证明：设f(x)在(0, )上单调下降，且

1nk

lim f()= f(x)dx

0n nnk 1

f(x)dx收敛，则

关键词

极限；极限方法；无穷小；洛必达法则；幂指函数；定积分。

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Abstract

In Higher Mathematics limit is a very important concept, which is a key theoretical basis for the research of analysis methods. We know that many important concepts, such as continuous, derivative, definite integral, as well as the sum of infinite series, are defined by the limits. So it is very important to have a good method for the limit.

Firstly this paper described commonly used methods for the limit, which are comprehensive methods for the limits of the foundation and prerequisite. The focus of this article is in chapters III and IV. Respectively, the limits for the two typical forms, limu(x)v(x)(only discuss the case

x x0

of type 1)andlim f(k), were made a specific study. The main work of the following areas:

n

n

k 1

ln f(x) dx

=e 0

n1

Keywords

limit; limit method; infinitesimal; L’Hospital’s rule; power mean function; the definite integral.

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目录

摘要 ...................................................................... I ABSTRACT ................................................................. II

第一章 综述 .............................................................. 1 1.1引言 .................................................................. 1 1.2极限定义的深层拓展 .................................................... 1 1.3极限问题的类型和方法概述 .............................................. 2 第二章 常见的极限求解方法 ................................................ 3 2.1利用无穷小的性质求极限 ................................................ 3 2.2利用两个重要极限公式求极限 ............................................ 4 2.3利用等价无穷小代换求极限 .............................................. 5 2.4利用函数的泰勒展开式求极限 ............................................ 6 2.5利用洛必达法则求极限 .................................................. 7 第三章 形如limu(x)v(x)的典型极限问题的求解方法 ............................. 9

x x0

3.1方法或定理的提出及证明 ................................................ 9 3.2例题 .................................................................. 9 第四章 形如lim f(k)的典型极限问题的求解方法 ............................ 10

n

k 1n

4.1方法或定理的提出及证明 ............................................... 10 4.2例题 ................................................................. 11

结论 ..................................................................... 13 参考文献 ................................................................. 14 致谢 ..................................................................... 15

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第一章 综述

1.1引言

极限是描述数列与函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量，因此，它具有由此达彼的重大创新作用。

同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终。极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学。例如，求解非线性偏微分方程近似解的基本工具——有限元法，可以看作是微元法和无限逼近思想在计算数学中创造性的运用与发展。

极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题。

求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法。众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握。本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓读者的思路，起到抛砖引玉的作用。

1.2极限定义的深层拓展

要研究典型极限问题的求解方法，首先要深刻理解极限的定义。随着科学技术的深入发展，以及数学自身的发展需要，极限概念也在进行着深层次的拓展，它的发展主要经历了如下阶段。

（1）n维欧氏空间中的函数极限概念。

设f为定义在D Rn的n元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数，若对任

0意的正数 ，总存在某正数 ，使得当P u0(P0的某个0, ) D（其中，u(P0, )为点P

A为极限 。 空心领域）时,都有f(p) A ，则称f在D上当P P0时,以

1

（2）距离空间中点列极限的概念。

设 xn 为距离空间X中的一个点列(或序列)，这里n 1,2,3...。 为空间的距离函数，如果存在X中的点x0，使得当n 时， (xn,x0) 0，则称点列 xn 收敛于x0，

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记为limxn x0，称x0为 xn 在距离 意义下的极限 1 。

n

（3）拓扑空间中半序点列极限的定义。

设X是一拓扑空 …… 此处隐藏：9914字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……