12-3高等数学同济大学第六版本

同济大学高等数学 第六版 第十二章答案分享

习题 12 3 1. 求下列齐次方程的通解: (1) xy′ y y 2 x 2 = 0 ; dy y y = ( )2 1 . dx x x

解 原方程变为 令u =

y , 则原方程化为 x u + x du = u + u 2 1 , 即 1 du = 1 dx , x dx u 2 1 两边积分得

ln(u + u 2 1) = ln x + ln C , 即 u + u 2 1 = Cx ,将u =

y 代入上式得原方程的通解 xy y + ( )2 1 = Cx , 即 y + y 2 x2 = Cx2 . x x

(2) x

dy y = y ln ; dx x dy y y = ln . dx x x

解 原方程变为 令u =

y , 则原方程化为 x 1 u + x du = u ln u , 即 du = 1 dx , dx u(ln u 1) x 两边积分得 ln(ln u 1)=ln x+ln C, 即 u=eCx+1, y 将 u = 代入上式得原方程的通解 x y=xeCx+1.(3)(x2+y2)dx xydy=0;

解 这是齐次方程. 令 u =

y , 即 y=xu, 则原方程化为 x (x2+x2u2)dx x2u(udx+xdu)=0, 即 udu = 1 dx , x

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两边积分得 u2=ln x2+C, y 将 u = 代入上式得原方程的通解 x y2=x2(ln x2+C). (4)(x3+y3)dx 3xy2dy=0;

y , 即 y=xu, 则原方程化为 x 2 (x3+x3u3)dx 3x3u2(udx+xdu)=0, 即 3u 3 du = 1 dx , x 1 2u 两边积分得 1 ln(1 2u 3) = ln x + ln C , 即 2u 3 = 1 C , 2 x2 y 将 u = 代入上式得原方程的通解 x x3 2y3=Cx . y y y (5) (2xsh + 3 ych )dx 3xch dy = 0 ; x x x dy y y 解 原方程变为 = 2 th + . dx 3 x x y 令 u = , 则原方程化为 x u + x du = 2 thu + u , 即 3chu du = 2 dx , dx 3 shu x 两边积分得 3ln(shu)=2ln x+ln C, 即 sh3u=Cx2, y 将 u = 代入上式得原方程的通解 x y sh 2 = Cx 2 . x解 这是齐次方程. 令 u =x x y )dx + 2e y (1 (6) (1+ 2e

x )dy = 0 . yx

解 原方程变为 dx = dy

2( x 1)e y yx 1+ 2e y

.

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令 u = x , 则原方程化为 yu 2(u 1)eu u + y du = , 即 y du = u + 2eu , u dy 1+ 2e dy 1+ 2e

分离变量得1+ 2eu du = 1 dy , y u + 2eu

两边积分得 ln(u+2eu)= ln y+ln C, 即 y(u+2eu)=C, 将 u = x 代入上式得原方程的通解 yy( x + 2e y ) = C , 即 x +2 ye y = C . yx

x

2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y2 3x2)dy+2xydx=0, y|x=0=1; y 解 这是齐次方程. 令 u = , 即 y=xu, 则原方程化为 x 2 2 2 (x u 3x )(udx+xdu)+2x2udx=0, u 2 3 du = 1 dx , 或 ( 3 + 1 + 1 )du = 1 dx 即 x u u +1 u 1 x u u3 两边积分得 3ln |u|+ln|u+1|+ln|u 1|=ln|x|+ln|C|, 即 u2 1=Cxu3, y 将 u = 代入上式得原方程的通解 x y2 x2=Cy3. 由 y|x=0=1 得 C=1, 故所求特解为 y2 x2=y3. y (2) y′ = x + , y|x=1=2; y x y 解 令 u = , 则原方程化为 x u + x du = 1 + u , 即 udu = 1 dx , dx u x 两边积分得 1 u 2 = ln x + C , 2

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3 设有连结点O(0 0)和A(1 1)的一段向上凸的曲线弧O A 对于O A上任程 解 设曲线弧O A的方程为y y(x) 由题意得

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两边积分得 u= 4ln x+C . y 将 u = 代入上式得方程的通解 x y= 4xln x+Cx. 由于 A(1, 1)在曲线上, 即 y(1)=1, 因而 C=1, 从则所求方程为 y= 4xln x+x.