高三数学知识点总结上海历年可用

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高中数学知识梳理总汇

第一部分 集合与函数

1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.

[举例1]已知集P {y|y x2,x R},Q {y|y 2x,x R}，求P Q. 2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

[举例]若A {x|x2 a},B {x|x 2}且A B ，求a的取值范围.

3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A B，则x A是x B的充分条件；若A B，则x A是x B的必要条件；若A B且A B即A B，则x A是x B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”，是两种不同形式的问题.

［举例］设有集合M {(x,y)|x2 y2 2},N {(x,y)|y x 2}，则点P M的＿＿＿＿＿＿＿条件是点P N；点P M是点P N的＿＿＿＿＿＿＿条件.

4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能

根据条件与结论判断出命题的真假. ［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.

5、若函数y f(x)的图像关于直线x a对称，则有f(a x) f(a x)或

f(2a x) f(x)等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身

的对称问题.函数y f(x)的图像关于直线x a的对称曲线是函数y f(2a x)的图像，函数y f(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y 2b f(2a x)的图像.

[举例1]若函数y f(x 1)是偶函数，则y f(x)的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.

[举例2]若函数y f(x)满足对于任意的x R有f(2 x) f(2 x)，且当x 2时

f(x) x

2

x，则当x 2时f(x) ＿＿＿＿＿＿＿＿.

6、若函数y f(x)满足：f(x a) f(x a)(a 0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数y f(x)满足：f(x a) f(x)(a 0)则f(x)是以2a为周期的函数.（注意：若函数f(x)满足f(x a)

1f(x)

，则f(x)也是周期函数）

［举例］已知函数y f(x)满足：对于任意的x R有f(x 1) f(x)成立，且当x [0,2) 时，f(x) 2x 1，则f(1) f(2) f(3) f(2006) ＿＿＿＿＿＿.

7、奇函数对定义域内的任意x满足f( x) f(x) 0；偶函数对定义域内的任意x满足f( x) f(x) 0.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数y f(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若y f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0) 0；反之不然. ［举例1］若函数f(x)

12 1

x

a是奇函数，则实数a ＿＿＿＿＿＿＿；

2

[举例2]若函数f(x) ax (b 2)x 3是定义在区间[2a 1,2 a]上的偶函数，则此函数

的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数y f(x)的图像关于直线x a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，

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但必须注意定义域.

［举例］若函数y f(x)是定义在区间[ 3,3]上的偶函数，且在[ 3,0]上单调递增，若实数a 满足：f(2a 1) f(a2)，求a的取值范围.

9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数y f(x)的图像，作出函数y f( x),y f(|x|),y |f(x)|,y f(x a),y f(x) a的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注y f(|x|),y |f(x)|的图像. ［举例］函数f(x) |log2|2x 1| 1|的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例1］已知函数f(x) 2x 1,g(x) ax 1，若不等式f(x) g(x)的解集不为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. [举例2]若曲线y2 |x| 1与直线y kx b没有公共点，则k,b应当满足的条件是 . 11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.

一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？ ［举例］函数f(x) x2 2ax 1，（x [0,1] [3,4]），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式

上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定. ［举例］函数f(x) log2(x2 2x 2),(x ( , 2])的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图

像关于直线y x对称；若函数y f(x)的定义域为A，值域为C，a A,b C,则有

f(f

1

(b)) b,f

1

(f(a)) a.b f(a) a f

1

1

(b).需要特别注意一些复合函数的

反函数问题.如y f(2x)反函数不是y f(2x).

1

［举例1］已知函数y f(x)的反函数是y f的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(x)，则函数y 2f

1

(3x 4)的反函数

2x,x 0

[举例2]已知f(x) ，若f

log2( x), 2 x 0

1

(a) 3，则a ＿＿＿＿.

14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只

能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式

分解.记住并会证明：函数y ax [举例]函数f(x) ax

1x

bx

,(a,b 0)的单调性.

(a 0)在x [1, )上是单调增函数，求实数a的取值范围.

15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在

闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. ［举例］求函数f(x) x 2ax 1在区间[ 1,3]的最值..

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等

式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式

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的讨论比较方便.还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）. [举例1]已知关于x的不等 …… 此处隐藏：22817字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……