奇偶函数的积分求法

奇偶函数的积分计算是积分学中的一种特殊运算,在计算过程中如能巧用奇偶函数的性质,往往可以起到化难为易、简化计算的作用。本文从单变量函数和多变量函数微分学两个方面分别探讨了奇偶函数的积分计算,并结合具体实例进一步论证了自己的观点。

南昌高专学报 2 0 0 8年第 5 (刺总笫 7 8期 ) 20 0 8年 l出版 O月 J ra o nhn o ee N . ( m 7J o nlf ac agC lg u N l o S .8 5 u O t2 0 c 08 .

奇偶函数的积分求法王国才(汀苏信息职业技术学院江苏无锡 240 ) 11 1

摘

要：奇偶函数的积分计算是积分学中的一种特殊运算，在计算过程中如能巧用奇偶函数的性质，往往可

以起到化难为易、简化计算的作用。本文从单变量函数和多变量函数微分学两个方面分别探讨了奇偶函数的积分计算.并结合具体实例进一步论证了自己的观点。

关键词：奇偶函数；单变量函数；多变量函数；积分中图分类号： 7 . 0122 文献标识码： A文章编号：0 87 5{0 8 o— 18 0 10— 3 4 20 )5 0 5— 2

积分计算是高等数学中的一种基本运算， 当被积函数为奇 (偶 )或函数时，分计算通常可归积结为解决下面两类问题： 1 .当被积函数为单变量奇(或偶)函数时，一般情况下如何求解积分？特别地，若被积函数不具有初等函数形式的原函数时.应考虑从何种角度解决问题？ 2当被积函数为多变量奇 ( .或偶)函数时，如何利用其奇偶性求解相应的多重积分？ 下面，们来逐步解决上述问题。我 1被积函数为单变量奇 (或偶 )函数 1设/在闭区间[,] . 1 () ab上连续， () F是在 ab上的一个原函数。 .]则

所以原式=+ o

d 6c x:7。 x aa I = rn 3 t/"

1若被积函数不具有初等函数的原函数， . 2

则无法用普通积分法计算，此时可以试着从函数性质或几何图形的角度进行运算。

例3 .计算积分 Ie‘ d x解：方法-( N用函数性质计算 ):

设函 r ) rx1 a当o。1寸有数 (= a x ( , -, (R erar - ) ( ( a= )1。此公式被称为余元公式，在余元公式中令 a得：()√ = r=。

于， = fX一-x =是 e出￣2"2 f( 1 ()ed= e jX I 1r ( 2。

I (d= (l Fb Fa x x Fx: (一 (。 f) )= ) )例1算积 F s x .计分 id nx解： I s x= Id o= ( OX因为。 i d一。

cs一 S— nx x C。

方法二(利用几何图形计算):

fx= - Y ( e绕轴旋转一周的体积为 ) X=

fs x cx o d)

Ia=/—n= X y 7II 2" 与 XZ O平面所围成的立体的

￣XO+.od=XO+』s - X2 cx=- X2dn 2S『 sx 2S i C x C : x o+(i—s、一2 s 2 sx j x xn ' c i n=一 C S O X+2 i+2C S xsn O x+C『

我们可视为Y =

体积。于是，另一种表示为=f -’ df ( x^, e一+

=

所以 iS= C 2sx 2 S刀 2 xi一。 S+xn+C X=一 Z. n O i OI特别地，函数在闭区1上连续，若 9I=

( x'有(- )万而r x J‘) gd2所以 J , '=从 e: Pd一

∞

一∞

。

[( II I PO )]

则( I

)是奇函数时，, )x:当 a d 0; f

2被积函数为多变量奇 (或偶 )函数21用被积函数的奇偶性计算二重积分 .刑

() 2当是偶函数时， ( I( x f珈 2 x。/ f) d

有些二重积分的问题，看起来似乎不易计初算，是一旦恰当地利用被积函数的奇偶性并配但

例 .算分 . 2积 f计￡

解原=: 式。+ l, f_ .出低计算量。具体应用方法可归纳为下面的结论： 因 f+是函，1是 ()函数，)有界闭区域 D上连续，为，奇数 f≥偶 JX - l 1。x +】设 Y在函数 .收稿日期：0 8 0— 3 2 0— 80

合积分区域关于坐标轴的对称性，就会大大地降

且区域 D关于 Y轴对称，记 D是区域 D被轴分 。

作者简介：王国才(90 )男， 18一，江苏盱眙人，师，讲主要研究方向：高等数学的教学与研究工作