[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章

第14讲

导数在函数中的应用

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三 次) . 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三 次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).

1.函数的单调性 函数 y=f(x)在(a,b)内可导，则

(1)若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)内单调递增； 单调递减 (2)若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内__________ .2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，

①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)

是极大值；

f′(x)<0 ,右侧__________ f′(x)>0 ,那 ②如果在 x0 附近的左侧__________么 f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根；

③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正， 极小值 ；如果左右两侧符号一样， 那么 f(x)在这个根处取得__________ 那么这个根不是极值点.

3.函数的最值 (1)函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件： 如果在区间[a,b]上，函数 y=f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)①若函数 f(x)在[a,b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小 值，f(b)为函数的最大值； ②若函数 f(x)在[a,b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，

f(b)为函数的最小值.

(3)求 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值；极值 与端点值比较，其中最大的 ②将函数 y=f(x)的各________

一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( C ) A.-2 B.0 C.2 D.4

2.(2013 年广州二模)已知e为自然对数的底数，函数 y=

xex 的单调递增区间是( A )A.[-1,+∞) C.[1,+∞) B.(-∞,-1]

D.(-∞,1]

3.(2013 年河南郑州模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b), 导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 2-14-1,则函数 f(x)在(a,b) 内的极大值点有( B )

图 2-14-1A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2 4.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________ 处取得极小值.

考点 1 函数的单调性与极值

x a 3 例1:(2014年重庆)已知函数f(x)= 4 + x -lnx- 2 ,其中a∈ 1 R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y= x. 2(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

解：(1)函数f(x)的定义域为x>0. 1 a 1 对函数f(x)求导，得f′(x)= - 2- . 4 x x 1 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂

直于y= x知， 2 3 5 k=f′(1)=-4-a=-2.∴a=4.

5 2 1 4 1 x -4x-5 (2)由(1)知，f′(x)= - 2- = . 4 x x 4x2 x+1 x-5 令f′(x)=0,即 =0. 4x2解得 x=-1(舍)或 x=5. 当 x∈(0,5)时，f′(x)<0,函数 f(x)单调递减； 当 x∈(5,+∞)时， f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此，函数 f(x)在 x=5 时取得极小值，且极小值为

f(5)=-ln5.

【规律方法】 1 求函数的单调区间与函数的极值时要养成 列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一 个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一 般不能用并集符号“∪”连接，只能用“,”或“和”字隔开. 2 “f′ x >0[或 f′ x <0]”是“函数 f x 在某区间上为增函 数 或减函数 ”的充分不必要条件；“f′ x0 =0”是“函数 f x 在 x=x0 处取得极值”的必要不充分条件.

【互动探究】

1.函数 f(x)在 x=x0 处的导数存在，若命题 p:f′(x0)=0,命题 q:x=x0 是 f(x)的极值点，则 p 是 q 的( C ) A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：若 x=x0 是 f(x)的极值点，则f′(x0)=0;若f′(x0)

=0,而 x=x0 不一定是 f(x)的极值点，如 f(x)=x3,当 x=0 时，

f′(0)=0,但 x=0 不是极值点.故 p 是 q 的必要不充分条件.故选 C.

考点 2 函数的最值

1 2 例2:(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)= x -alnx(a>0). 2(1)若 f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1=0 平行，求

f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).2 a x -a f′(x)=x-x = x .

由f(x)在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，

4-a 3 则f′(2)= = ,a=1. 2 2 x2-1 1 2 此时f(x)=2x -lnx,f′(x)= x .

令 f′(x)=0,得 x=1.

f(x)与 f′(x)的情况如下表： x f′(x)(0,1) — 1

(1,+∞)

0 + 1 f(x) ↘ ↗ 2 所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).

2 a x -a (2)由f′(x)=x- = .由a>0及定义域为(0,+∞),令 x x

f′(x)=0,得x= a. ①若 a ≤1,即0<a≤1,在(1,e)上，f′(x)>0,f(x)在[1, 1 e]上单调递增，f(x)min=f(1)=2; ②若1< a <e,即1<a<e2,在(1, a )上，f′(x)<0,f(x)单 调递减；在( a ,e)上，f′(x)>0,f(x)单调递增，因此在[1,e] 1 上，f(x)min=f( a)=2a(1-lna);