Th eorie des groupesGroup Theory Explicit Presentations for

Abstract. Birman, Ko & Lee have introduced a new monoid B # n---with an explicit presentation---whose group of fractions is the n-strand braid group B n. Building on a new approach by Digne, Michel and himself, Bessis has defined a dual braid monoid for ev

C.R.Acad.Sci.Paris,t.???,S´erieI,p.1–6,2001

Th´eoriedesgroupes/GroupTheory-PXMA????.TEX-

ExplicitPresentationsfortheDualBraidMonoids

MatthieuPicantin

LaboratoireSDAD,D´epartementdeMath´ematiques,Universit´edeCaen,14000Caen,France

E-mail:picantin@math.unicaen.fr

(Rec¸ule6d´ecembre2001,accept´eapr`esr´evisionle7f´evrier2002)

Abstract.Birman,Ko&LeehaveintroducedanewmonoidB n—withanexplicitpresentation—

whosegroupoffractionsisthen-strandbraidgroupBn.Buildingonanewapproach

byDigne,Michelandhimself,Bessishasde nedadualbraidmonoidforevery niteCox-

etertypeArtin-TitsgroupextendingthetypeAcase.Here,wegiveanexplicitpresentation

forthisdualbraidmonoidinthecaseoftypesBandD,andwestudythecombinatoricsof´c2001Acad´theunderlyingGarsidestructures. emiedessciences/Editionsscienti queset

m´edicalesElsevierSAS

Pr´esentationspourlesmono¨ desdetressesduaux

R´esum´e.Birman,KoetLeeontintroduitunnouveaumono¨ deB esentationexplicite—n—avecunepr´

dontlegroupedefractionsestlegroupeBndestressesa`nbrins.Suivantunenouvelle

approchepropos´eeavecDigneetMichel,Bessisad´e niunmono¨ dedetressesdualpour

toutgrouped’Artin-TitsdetypedeCoxeter nig´en´eralisantlecasdutypeA.Ici,nousdon-

nonsunepr´esentationexplicitedecemono¨ dedetressesdualpourlesgroupesd’Artin-Tits

detypeBetD,etnouse´tudionslacombinatoiredesstructuresdeGarsidesous-jacentes.´c2001Acad´ emiedessciences/Editionsscienti quesetm´edicalesElsevierSAS

Versionfranc¸aiseabr´eg´ee

Birman,Ko&Leeintroduisentdans[2]unnouveaumono¨ depourlesgroupesdetresses(detypeA)avecunepr´http://www.77cn.com.cnquestiondepossiblesg´en´eralisationsseposenaturellement.Unebonnenotionpourl’´etudedecesnouveauxmono¨ desdetresses(maisaussidemono¨ despourlesgroupesdetressesdesgroupesder´e exionscomplexes,pourlesgroupesd’entrelacs,etc)estcelledemono¨ dedeGarside,introduiteparDehornoy&Parisdans[12]etexploit´eedans[3,4,7,9,10,13,16,17,18]:Mestunmono¨ de

`droiteeta`gaucheetadmetunedeGarsidesiMestunmono¨ desimpli able,admetdesppcmaement´l´

´l´`droiteeta`gaucheco¨deGarsided´e nicommeuneementdontlespiseursa ncident,engendrentM

etsontennombre ni.Lespiseursdel’´el´ementdeGarsideminimalsontappel´esleseementssimples´l´

´l´deM;munidesop´erationsppcmetpgcd,l’ensembledeseementssimplesestuntreillis ni.Lesmono¨ des

deGarsideseplongentdansleursgroupesdefractions,ontdebonnesformesnormales,desstructuresautomatiquesexplicites,etc.Lecrit`eredonn´edans[10]permetded´ecidersiunepr´esentationdemono¨ deestcelled’unmono¨ dedeGarside:ilconsisteenlav´eri cationdeconditionsdecompl´etudeetdecubeet

´l´del’existenced’uneementdeGarside.

Notepr´esent´eeparJacquesTITS

S0764-4442(00)0????-?/FLA´c2001Acad´ emiedessciences/Editionsscienti quesetm´edicalesElsevierSAS.Tousdroitsr´eserv´es.1

Abstract. Birman, Ko & Lee have introduced a new monoid B # n---with an explicit presentation---whose group of fractions is the n-strand braid group B n. Building on a new approach by Digne, Michel and himself, Bessis has defined a dual braid monoid for ev

MatthieuPicantin

´crivons[w1,...,wp]pourlafamilleDansunepr´esentation(demono¨ de),siw1,...,wpsontdesmots,nouse

derelationsw1w2=w2w3=...=wp 1wp=wpw1(compatibleaveclesymboleducommutateurdansune

pr´esentationdegroupe).

Leprincipalr´esultatde[2]peuts’´enoncercommesuit:lesous-mono¨ deB (An 1)dugroupedetressesd’Artin-TitsB(An 1)engendr´eparlestressesats=(σt 1···σs+1)σs(σt 1···σs+1) 1pourn≥t>s≥1(o`ulesσisontlesg´en´erateursdumono¨ declassiqueB+(An 1))admetlapr´esentation(1):c’estunmono¨ dedeGarside,dontlenombredesimplesestlen-i`emenombredeCatalan(voirlatable1).

Suivantunenouvelleapprochepropos´eeavecDigne&Micheldans[4],eng´en´eralisantlecasdutypeA,

Bessisd´e nitdans[3]unmono¨ dedetressesdualB(T)pourtoutgrouped’Artin-TitsB(T)detypede

´tantlemono¨Coxeter niT,commee dedeGarsidedontletreillisdessimplesestletreillisde -pisibilit´e

´l´`lalongueurend’uneementdeCoxeterdugroupedeCoxeterassoci´e,o`u estd´e nierelativementa

´t´r´e exions(unepreuvecombinatoiredelapropri´et´edetreillispourletypeDadepuiseed´etaill´eedans[5]).

Nousmontronsdanscettenotequelemono¨ dedetressesdualB(Bn)admetlapr´esentation(4),tandis

`montrerquelequelemono¨ dedetressesdualB (Dn)admetlapr´esentation(7).Lespreuvesconsistenta

sous-mono¨ dedugroupeB(Bn)(resp.B(Dn))engendr´eparlesg´en´erateursd´e nispar(3)(resp.par(6))admetlapr´esentation(4)(resp.(7))enutilisantlesdiagrammesdetressesdes gures1et2(resp.3et4),etquecettepr´esentationestcelled’unmono¨ dedeGarside,dontl’´el´ementdeGarsideminimalapourimage´l´uneementdeCoxeterdanslegroupedeCoxeterassoci´e.

`celledeBirman,Ko&Lee[2]permetdemontrerquelese´l´Uneapprocheanalogueaementssimples

deB(Bn)etB(Dn)sontenbijectionaveclespartitionsnon-crois´eescorrespondantesqueReinerd´e nitdans[20].Latable1donnelenombred’´el´ementssimplespourlesmono& …… 此处隐藏：12125字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……