高中数学必修5复习课件第35讲(必修5)数列求和

第35讲数列求和

1. 熟练掌握等差、等比数列的求 和公式.

2. 掌握非等差、等比数列求和的 几种常见模型与方法.

1.若数列{an}为等比数列，S5=10,S10=50, 则S15= 210 .1 2.若an=1+2+…+n,则数列{ }的前n项和 an 2n

Sn=

n 1

.

n(n 1) 因为an=1+2+…+n= , 2 1 2 1 1 所以 = =2( ), an n 1 n n 1 2n 1 1 1 1 1 故Sn=2[(1- )+( - )+…+( )]= . n 1 n n 1 2 2 3

1 1 1 1 3.数列1 2 ,3 4 ,5 8 ,716 ,…的前n项 1 2 和Sn= n +1- n . 2 1 1 1 S=(1+3+5+…+2n-1)+( + +…+ n ) 2 2 4 1 2n

=n2+1-

.

4. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=1-3+57+…+(-1)n-1(2n-1)(n∈N*) , 则 S2008+S2009+S2010=( B ) A.-2008 C.2009 B.-2009 D.2010

当n=2k(k∈Z)时，

Sn=(1-3)+(5-7)+…+[(2n-3)-(2n-1)]=k×(-2)=-n. 当n=2k-1(k∈Z)时， Sn=1+[(-3)+5]+[(-7)+9\]+…+[-(2n-3)+(2n-1)] =1+(k-1)×2=n. n -n (n为奇数) (n为偶数),

所以Sn=

所以S2008+S2009+S2010=-2008+2009-2010=-2009.

5.设f(x)=

1 2x 2

,则f(x)+f(1-x)=

利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6) 的值为 3 2 .

2 2

,并

1 f(x)+f(1-x)= 2 x 2

= =

又设S=f(-5)+f(-4)+…+f(6),

1 + x 2 2 1 = 2. 2 2

1 + 21 x 2 1 x 2 1 2x 2 = + 2 2 2x 2x 2 2x 2

则S=f(6)+f(5)+…+f(-5),所以2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)].2 所以2S=12× =6 2

2 ,所以S=3 2 .

1.公式法 常用的公式有：

(1)等差数列{an}的前n项和 n(n 1) n(a1 an ) d . Sn=① =② na1+ (2)等比数列{an}的前n项和2 2

a1 an q a1 (1 q n ) Sn=③ =④ 1 q (q≠1). 1 q 1 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n =⑤ n(n+1)(2n+1) 6 1 2 2 3 3 3 3 n ( n +1) (4)1 +2 +3 +…+n =⑥ 4 .

.

2.倒序相加法

将一个数列倒过来排序，它与原数列相 加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于 求和，则这样的数列可用倒序相加法求和.3.分组转化法 分析通项虽不是等差或等比数列，但它 是等差数列和等比数列的和的形式 , 则可进 行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和， 如求{n(n+1)}前n项的和.

4.错位相减法 利用等比数列求和公式的推导方法求解， 一般可解决型如一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘所得数列的求和，如求数 列{n· 3n}的前n项和. 5.裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去 一部分从而计算和的方法，它适用于通项 为1 an an 1

的前n项求和问题，其中{an}为等差1 an an 1

数列，如

=

1 d

(

1 an

-

1 an 1

).

常见的拆项方法有：1 1 1 (1) n(n 1) =⑦ n n 1 ; 1 1 1 1 ( ) (2) n(n k ) =⑧ k n n k ; 1 1 1 1 [ ] (3) n(n 1)(n 2) =⑨ 2 n(n 1) n(n 1)(n 2) ; 1 ( a b) 1 (4) =⑩ a b ; a b

(5)n· n!= 11 (n+1)!-n! . 6.并项法 将数列的每两项(或多次)并到一起后，再 求和，这种方法常适用于摆动

数列的求和.

典例精讲题型一 分组求和及并项法求和 例1 求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1· n2.

(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+(3n-2)n(2n 1 3n 2) 5 2 3 = = n - 2 n, 2 2 5 2 2 2 3 2 所以Sn= 2 (1 +2 +3 +…+n )2 1

(1+2+…+n)

=

6

n(n+1)(5n-2)(n∈N*).

(2)当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2] =-3-7-…-(2n-1)= 当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+[n2-(n-1)2] =1+5+9+…+(2n-1)=2 n(n 1) . 2 n(n 1) 2

.

故Sn=(-1)n-1 n(n 1) (n∈N*).

点评 求数列的前 n 项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应 的求和方法 . 如本题中的 (1) 小题运用分 组求和法； (2) 小题中，由于 an 的项是 正负相间，故采用并项求和法，但解 题中要注意分奇数、偶数讨论.