第三章 平稳时间序列分析-3

时间序列分析

上次课内容回顾

一、平稳AR模型的统计性质均值，方差，自协方差函数，自相关系数的拖尾性及偏自相关 系数的p阶截尾性

二、 ARMA模型之MA模型 q阶MA模型形式： MA模型的统计性质：

中心化，非中心化，移动平均系数多项式 Xt=θ(B)εt

均值，方差，自协方差函数，自相关系数的q阶截尾性及偏自 相关系数的拖尾性

MA模型的可逆性判定

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用过去的自己，并考虑到随机干 扰或误差序列来预测自己

三、ARMA模型1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动 平均模型，简记为ARMA(p,q) xt 0 1 xt 1 p xt p t 1 t 1 q t q p 0, q 0 E ( t ) 0,Var( t ) 2 , E ( t s ) 0, s t

特别当φ 0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型

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系数多项式

引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 ( B) xt ( B) t

其中p阶自回归系数多项式： ( B) 1 1 B 2 B 2 p B pq阶移动平均系数多项式：

( B) 1 1 B 2 B 2 q B q

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2、平稳条件与可逆条件

ARMA(p,q)模型的平稳条件 P阶自回归系数多项式Φ (B)=0的根都在单 位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由 其自回归部分的平稳性决定 ARMA(p,q)模型的可逆条件 q阶移动平均系数多项式θ (B)=0的根都在 单位圆外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完 全由其移动平滑部分的可逆性决定

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可转化为无穷阶MA模型

可转化为无穷阶AR模型

3、传递形式与逆转形式

传递形式 t G j t jj 1

逆转形式 t 1 ( B ) ( B ) x t xt I j xt jj 1

xt 1 ( B ) ( B ) t

Green函数： G0 1 k j j Gk Gk j , j 1

逆函数：k 1

I0 1 k k 1 j j Ik Ik j , j 1 j , j p j , j q 其中 j , j 0, j p 0, j q

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4、ARMA(p,q)模型的统计性质

均值自协方差 自相关系数

E ( xt )

1 1 p 2

0

(k ) Gi Gi ki 0

(k ) (k ) ( 0)

G Gj 0 j j 0

j k

G2 j

自相关系数和偏自相关系数都具有拖 尾性

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【例3.7】考察ARMA模型的自相关性

ARMA(1,1): xt 0.5 xt 1 t 0.8 t 直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。

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样本自相关图

样本偏自相关图

显然，自相关系数和偏自相关系数拖尾

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这也是直观选择拟合模型的 常用方法之一

ARMA模型相关性特征：模型 自相关系数 偏自相关系数

AR

(P)MA(q) ARMA(p,q)

拖尾q阶截尾 拖尾

P阶截尾拖尾 拖尾

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3.3 平稳序列的建模

建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化

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一、建模步骤平 稳 非 白 噪 声 序 列 计 算 样 本 相 关 系 数

模型 识别

参数 估计

No

模型 检验

模 Yes 型 优 化

序 列 预 测

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二、计算样本相关系数

样本自相关系数

样本偏自相关系数

k

(xt 1

n k

t

x )( xt k x )

( xt x ) 2 t 1

n

Dk kk D 1 1 ... k -2 1 ... 2 ... ... ... k 1 1 D ... k -1 1 1 ... k -2 k -1 ... k - 2 ... ... ... 1

1 1 Dk ... k -1

由克莱姆法则，解Yule-Walker方程组得到。

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三、模型识别 基本原则 k

kkP阶截尾拖尾

选择模型

拖尾q阶截尾

AR(P)MA(q)

拖尾

拖尾

ARMA(p,q)

一般先通过时序图直观判断序列平稳性，再根据基 本原则选择模型。

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模型定阶的困惑：

因样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出 完全截尾，本应截尾的自相关或偏自相关系数 仍会呈现出小值振荡； 因平稳时间序列具有短期相关性，随着延迟阶 数无穷大时，自相关或偏自相关系数都会衰减 至0值附近作小值波动；

何时可作为截尾？何时为拖尾？ 没有绝对的标准，主要靠经验。有时也利用一 下由两种系数的近似分布推出的结论。

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样本相关系数的近似分布

Barlett定理

1 k ~ N (0, ) , n n

Quenouille定理

~ N (0, 1 ) , n kk n

时间序列分析

何时可作为截尾？何时为拖尾？

模型定阶的经验方法

95%的置信区间(正态分布2 σ原则)2 2 Pr k 0.95 n n 2 2 Pr kk 0.95 n n

模型定阶的经验方法： 若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2 倍标准差，后面几乎95%的值都落在2倍 标准差范围内，且衰减为小值波动的过程 很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。