高中数学第二章推理与证明2.2.1第1课时综合法及其应用学业分层测

1 2.2.1 第1课时 综合法及其应用

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a

≤－2成立的一个充分不必要条件是( )

A.a ·b >0

B.a ·b <0

C.a >0，b <0

D.a >0，b >0 【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab

≤－2. ∵a 2＋b 2>0，

∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.

【答案】 C

2.平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )

A.菱形

B.梯形

C.矩形

D.平行四边形 【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，

∴OA →－OB →＝OD →－OC →，

∴BA →＝CD →，

∴四边形ABCD 为平行四边形.

【答案】 D

3.若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )

【导学号：37820018】

A.12

B.a 2＋b 2

C.2ab

D.a 【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，

∴2ab <12

. 而a 2＋b 2>（a ＋b ）22＝12， 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，

∴a <12

，∴a 2＋b 2最大，故选B.

2 【答案】 B

4.A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 若A >B ，则a >b ，

又a sin A ＝b

sin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，

∴A >B .

【答案】 C

5.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是

( )

A.若m ?β，α⊥β，则m ⊥α

B.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β

C.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直.

【答案】 C

二、填空题

6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则

k ＝________.

【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，

∴?

????λ＝2，3λ＝k ， ∴?

????λ＝2，k ＝6. 【答案】 6

7.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.

【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，

又∵c b ＝6－27－3＝7＋3

6＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .

3 【答案】 a >c >b

8.已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题.

【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ?

bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③?②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②?③.若bc >ad ，bc －ad ab

>0，则ab >0，故②③?①.因此可组成3个正确的命题.

【答案】 3

三、解答题

9.如图2­2­3，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC

.

图2­2­3

【证明】 ∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，

∴AB ═∥CD .

又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，

∴CF ═∥AE .

∴四边形AECF 为平行四边形.

∴AF ∥EC .

又AF ?平面PEC ，EC ?平面PEC ，

∴AF ∥平面PEC .

10.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列.求证：△ABC 为等边三角形.

【证明】 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3

，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝

a ＋c 2， 代入上式得（a ＋c ）24

＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2

＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，