青岛科技大学2012-2013-2复变函数A试卷及答案A

青岛科技大学,工科,复变函数,期末试题,

2012－2013

学年 2 学期 复变函数A（A卷）

课程考试试题

拟题学院（系） : 数理学院 自动化学院相关专业适 用 专 业: 一、选择题（3分×5＝15分） 1．复数z 1A. 2(cos

的三角形式为________.

4 4 isin) B. 2(cos isin) 33332 2 5 5

C. 2(cos isin) D. 2(cos isin)

3333

2．根式 1的值之一是________.

A．

13i3i13 i B． C． D． i 22222222

3．下列积分之值不等于0的是________. A．

13

z 2

z 1

B．

1z 1

2

z 1

C．

1

D．

z 1z2 2z 41 z 1cosz

4． z 0是函数

z

的 . sinz

A．可去奇点 B．本性奇点 C．极点 D．非孤立奇点

5．设函数f(t) t在拉普拉斯变换下的像为

为 . A．

12t

，则te在拉普拉斯变换下的像2s

2111

B． C． D．

(s 2)3(s 2)2(s 2)2s 2

二、填空题（3分×5＝15分） 1．e

i(1 3i)

的虚部是_______．

2．幂级数

(1 2i)

n 0

n

zn的收敛半径为 .

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3．设f(z)

z sinz

z3

，则Res[f(z),0]. 4．Ln( 5)=________________. 5．设f(z)

1

(z i)15(z 2)

，则Res[f(z), ]= .

三、判断题（2分×5＝10分）

1．当复数z 0时，其模为零，辐角也为零． （ 2．复数项级数

1(1 i2

)发散． （ n 0n

n3．若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C，

C

f(z)dz 0． （ 4．如果z0是f(z)的奇点，则f(z)在z0不可导． （5．函数f(t)

e 3t

t 01

0

t 0

在傅里叶变换下的像为

3 i

． （四、计算题（10分×6＝60分）

1．讨论函数f(z) ()2

的可导性和解析性． 2．求方程z4

16i 0的所有的根． 3．求f(z)

3

(z 1)(z 2)

在圆环域1 z 2内的洛朗展开式．

4．设C为正向圆周|z| 3，计算积分

ez

C

z(z 1)2

dz．

5．利用留数求积分

xcosx

x2

2x 8

． 6．求一个解析函数f(z)，使其虚部为v(x,y) 2x2

2y2

x且满足条件f(0) 1．

）））） ）

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（答案要注明各个要点的评分标准）

一、选择题（3分*5=15分）

1． D 2．A 3．B 4．A 5． C

二、填空：（3分*5=15分） 1． esin1 23

3．0 4．ln5 i( 2k ),k 5．0 三、判断题(2分*5=10分)

1．错 2．对 3．错 4．错 5．错

四、计算题（10分*6=60分） 1、解： f(z) ) (x iy)

2

2

2

2

2

x 2y 2 xyi，定义域为整个复平面

由已知 u(x,y) x y,v(x,y) 2xy （3分）

u v

2x 2x x y

而 （5分）

u v

2y 2y y x

若函数可导须满足柯西黎曼方程

u v u v

, （7分） x y y x

即 2x 2x, 2y ( 2y )

所以函数仅在(0,0)点可导。 （8分）

但在整个复平面不解析. （10分）

2、解：因为z 16i， 而 16i 16(cos(

4

)) isin( )) （2分） 22

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所以z

arg( 16i) 2k arg( 16i) 2k

isin) （6分）

44

2(cos

2k 4

isin

2k 4

),k 0,1,2,3 （10分）

3、解：因为f(z) 311

（2

(z 1)(z 2)z 1z 2

分）

在 1 z 2 内， 可知

1z<1 z

2

<1 因为 1z 1 1 1 1

1

zn n 1 z(1 )zn 0n 0z

z 1z 2 12 1 1 n

n( 1)nznzn ( 1)n 1 1 z2n 02n 0

22

所以f(z) 3(z 1)(z 2)

n 1 n 0zn 1 ( 1)nzn 1 n 02

(z) ez

4、解：由于fz(z 1)

2

的1级极点z 0，2级极点z 1都在z 3内 所以 分别以z 0,1为圆心，以

1

4

为半径做两个小圆周，分别记作C1,C2 由复合闭路原理 ezezez

z 2z(z 1)2dz Cdz Cdz 1z(z 1)22z(z 1)2

ez

z

e(z 1)2

ezC1

z(z 1)

2dz C1

zdz 2 i(z 1)2

2 i z 0

ez

ezez

C2

z(z 1)2dz Cdz 2 i() 0 2(z 1)2z z 1

（3分）

6分）

（9分） 10分） 2分） （4分）

（6分） （8分） （ （ （

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故 5、解：

C

ez

2 i 0 2 i （10分）

z(z 1)2

xcosx

x2 2x 8

z

的孤立奇点为z 1,z 1，其中位于上半平面的奇点是

R(z) 2

z 2z 8

z 1 且为一级极点 （3分）

xeix

= 2 iRes[R(z)eiz,1]

2

x 2x 8

zeiz

=2 i

2z 2z 1

=

(1 )ei(17

（6分）

(1)(cos1 isin1) （8分） 7

(cos1 （10分） 所以原积分

=

6、解：

v v

4x 1 ， 4y

y x

u v u v u , 知 4y （3分） x y y x x

由C-R方程：

两边对x求积分得u 4ydx 4xy g(y) （5分）

又由

u v

1 即g (y) 1 (4x 1)得 4x g (y) 4x

y x

所以g(y) y C

u 4xy y C， 其中C为实常数。 （7分）

所以解析函数f(z) u(x,y) iv(x,y) 4 …… 此处隐藏：783字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……