第4章 傅里叶变换和系统的频域分析

信号与线性系统分析--吴大正

信号与系统 电子教案 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

第四章 连续系统的频域分析

信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理

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第四章 连续系统的频域分析

时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。

4.1

信号分解为正交函数

一、矢量正交与正交分解矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 3 T Vx Vy vxiv yi 0i 1

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4.1

信号分解为正交函数

由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量 vx=(2,0,0)、vy=(0,2,0)、vz=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2,5,8),可以 用一个三维正交矢量集{ vx,vy,vz}分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合。第4-3页

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4.1

信号分解为正交函数

二、信号正交与正交函数集1. 定义： 定义在(t1,t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足

t2

t1

1 (t ) 2 * (t ) d t 0 (两函数的内积为0)

则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1,t2)内正交。2. 正交函数集： 若n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1,t2)内满足

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t2 t1

i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j*

则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。青岛科技大学信息科学技术学院

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信号与系统 电子教案 3. 完备正交函数集：

4.1

信号分解为正交函数

如果在正交函数集{ 1(t), 2(t),…, n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0)满足

t2 t1

(t ) i (t ) d t 0

( i =1,2,…,n)

则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}是两组典型的 在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。

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4.1

信号分解为正交函数

三、信号的正交分解设有n个函数 1(t), 2(t),…, n(t)在区间(t1,t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n

如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1,t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为1 2 t 2 t1第4-6页

t2 t1

[ f (t ) C j j (t )]2 d tj 1

n

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信号与系统 电子教案 为使上式最小 2 Ci Ci

4.1

信号分解为正交函数

t2 t1

[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0j 1

n

展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0,写为 t2 [ 2Ci f (t ) i (t ) Ci2 i2 (t )]d t 0 Ci t1 2 f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0 即 t1 t1t2 t2

所以系数

Ci

t2 t1

f (t ) i (t ) d tt2 t1

i2 (t ) d t

1 Ki

t2 t1

f (t ) i (t ) d t

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4.1

信号分解为正交函数

代入，得最小均方误差(推导过程见教材)n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 K j ] 0 j t1 t 2 t1 j 1

在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数 集),均方误差为零。此时有

t2 t1

f 2 (t ) d t C 2 K j jj 1

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )j 1

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4.2

傅里叶级数

4.2

傅里叶级数

一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t),其周期为T,角频率 =2 /T,当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 a0 f (t ) a n cos(n t ) bn sin(n t ) 2 n 1 n 1

系数an , bn称为傅里叶系数T 2 T 2

2 2 an f (t ) cos(n t ) d t bn f (t ) sin(n t ) d t T T 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。第4-9页

T 2 T 2

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4.2

傅里叶级数

将上式同频率项合并，可写为A0 f (t ) An cos(n t n ) 2 n 1

式中，A0 = a0

An a b2 n

2 n

bn n arctan an

可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancos n, bn = –Ansin n,n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其

中， A0/2为直流分量； A1cos( t+ 1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。第4-10页

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傅里叶级数

二、波形的对称性与谐波特性1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标2 an TT 2 T 2

f (t ) cos(n t ) d t

2 bn T

T 2 T 2

f (t ) sin(n t ) d t

bn =0,展开为余弦级数。

2 .f(t)为奇函数——对称于原点an =0,展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以第4-11页

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