镇江市2019~2020高三数学一模试卷含答案

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江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试

数学试卷

2020．01

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．

．） 1．已知集合A ＝{}220x x x ?≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A

B ＝ ． 2．设复数21i

z =+（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．

4．顶点在原点且以双曲线22

1124

x y ?=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题

5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：20x my m ?+?=，l 2：(2)10mx m y +??=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．

6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．

7．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +?≥????≤???+≥?

，则32z x y =+的最大值为 ．

8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移6π

个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为

原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4

g π

＝ ． 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ．

10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，

则公比q ＝ ． 11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π

?，4π

]

时，函数2()cos 2cos f θθθθ=+的值

域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．

2

12．已知函数331()0()220x x x x f x x x ??+<?=????≥?

，，，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x ?≤

()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．

13．过直线l ：2y x =?上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在

定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x ，y )满

足(OP OA)(OP OB)1???=?，则2OP OC

OP ?的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．

（1）求证：PC ∥平面BDE ；

（2）求证：PD ⊥平面PAB ．

16．（本题满分14分）

如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66?=．

（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝1314

，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1CA CD 2S

=

?，求AC 的长度．

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17．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝﹣4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点．①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(52

?

，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．

18．（本题满分16分）

某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N 在线段PT 上（不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N ），轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA 到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处（设计要求M ，O ，G 三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R ．记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．

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（1）试将l 表示为α的函数()l α，并写出α的取值范围；

（2）求l 最小时cos α的值．

19．（本题满分16分）

已知函数2

()ln ()f x x a x x =+?(a ∈R)．

（1）当a ＝0，证明：()1f x x <?；

（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数．

20．（本题满分16分）

已知N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=?；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2

n n n T b n n b +=++，且12a b =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n b 的通项公式；

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（3）设n n n a c b =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．

参考答案

11．3 12． 13． 14． 15．

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17．

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