22.2.3因式分解法解一元二次方程

回顾与复习 1

我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:

(x+h)2=k (k≥0)2

b b 4ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a

心动

不如行动

你能解下列的方程吗

(1)5x2=4x;

1 3 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 42

(3) (x-2)(x+1)=0;

旧题新解

1 3 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 42

(1)5x2=4x;(1)解 : 5 x 4 x 0,2

x 5x 4 0.

解 : 移项, 合并同类项, 得： 4 x 2 1 0,

x 0, 或5x 4 0.4 x1 0; x2 . 5

(2x 1) 2x 1 0.

2x 1 0, 或2x 1 0. 1 1 x1 ; x2 . 2 2

利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 这种解法叫做因式分解法.

新解剖析

分解因式法解一元二次 方程的步骤是:1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.

(1)5x2=4x;(1)解 : 5 x 4 x 0,2

x 5x 4 0.

x 0, 或5x 4 0.4 x1 0; x2 . 5

我思

我进步

分解因式的方法有那些? (1)提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). (2)公式法:

把一个多 项式分解 成几个整 式乘积的 形式叫做 分解因式.

a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.

(3)十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).

1 1

a b

例题欣赏

2

用分解因式法解方程:

(1)x-2=x(x-2); (2)3x 6x 3 (3)x2+6x-7=0

1 解：x 2 x x 2 0, x 2 1 x 0.

(2)解 : x 2 x 1 02

x 2 0, 或1 x 0. x1 x2 1. x1 2; x2 1. (3)解： 1)( x 7) 0 (x (3)利用十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

( x 1) 0.2

1 1

1 7

x 1 0或x 7 0

x1 1, x2 7

1.解下列方程

(1) x x 02

解 : x( x 1) 0. x1 0, x2 1.(3)( x 4)2 (5 2x)2

(2)x 3x 10 0 解 : x 5 x 2 0 x1 5, x2 2.2

(4)x 2x 1 02

解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.

解 : x2 2 x 1 x2 2 x 1 1 1

x 1 x1

2

2

x 1 2 2 1, x2 2 1

一元二次方程有四种解法： 直接开平方法 配方法公式法 因式分解法

一元二次方程的解法：(直接开平方法)

3 ) 例：(1) (x+1 -12 02

解： (x +1 2 4 )

x 1 2

∴x1 2-1=1, x2 -2-1=-3注：当给定的一元二次方程为(x +m)2 =n(n≥0) 型时选用直接开平方法。

一元二次方程的解法：(配方法) 例：(2)

x 6x 7 02

配方时应注

意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方

解： x 2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2

x 3 2x1 3 2, x2 3 2

注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数为偶数时常用配方法比较简便。

配方法解一元二次方程的解题过程一整：把方程整理成一元二次方程的一般形式.二移：把含有未知数的项放在方程的左边，不含未 知数的项放在方程的右边. 三化：把二次项系数化为1. 四配：方程的两边同加上一次项系数一半的平方， 再把方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边 化成非负数.

五解：利用直接开平方的方法去解.

一元二次方程的解法： (公式法)例：(3) 2 x 3x 4 0 解： a 2, b 3, c 42

b 4ac 3 4 2 4 22

9 32 41 3 41 x 2 23 41 3 41 x1 , x2 4 4 注：当一元二次方程二次项系数不为1且难以用因 式分解时常用公式法比较简便。

公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数(系数包括前面符号)3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关 系，若b2-4ac的值小于0,则此方程没有实 数根 。 4. 当b2-4ac的值大于、等于0时， 代入求根 公式 计算出方程的解

-b b 4ac 2 x= (b 4ac 0) 2a2

一元二次方程的解法： (因式分解法)例：

(4)(y 2) 3( y 2)2

解:原方程化为 (y+2) 2﹣3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 把y+2看作一个 (y+2)(y-1)=0 整体，变成 a×b=0形式(即 y+2=0 或 y-1=0 两个因式的积 ∴y1=-2 y2=1 的形式)。注：在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配 方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但配方法和公 式法首先要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某 些一元二次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化 为一次方程,即降次.

因式分解法的解题过程 右化零：移项，使方程的右边为0。

左分解：将方程左边分解因式 。两因式：令每个因式分别为零，得到两 个一元一次方程。 各求解：解这两个一元一次方程，它们 的解就是原方程的解。