Lllx11动量矩定理(Hong)---华南理工大学理论力学课件

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动量矩定理引言为何要引入动量矩定理？

MQ

O

ωvC 0

Cr (e)= 0,∑ Fi≡ 0,

r r p= mvO= 0

r r p= mvC= 0

动量定理无法描述相对质心的转动。1

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第11章动量矩定理§11–1质点和质点系的动量矩§11–2动量矩定理§11–3刚体绕定轴转动微分方程§11–4刚体对轴的转动惯量§11–5质点系相对质心的动量矩定理§11–6刚体的平面运动微分方程

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本章要求、重点与难点本章要求熟练计算转动惯量、动量矩；熟练应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。

本章重点刚体对轴的转动惯量；质点系的动量矩计算、质点系动量矩定理及其应用；刚体的平面运动微分方程及其应用。

本章难点刚体平面运动方程的应用；建立复杂的运动学补充关系。3

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质点的动量矩r r -是质点动量对于某点O的矩，记为 M O (mv )。

-动量矩是矢量，方向与质点动量方向一致；瞬时量； -单位：kg·m2/s r r r r M O (mv )= r× mv

质点动量对某轴z的动量矩 r r M z ( mv )= M O ( mv xy ) r r r M O (mv ) z= M z (mv )

[

]

符号：无统一规定，方便计算即可。4

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质点系的动量矩质点系对某点O动量矩r r r LO=∑ M O (mi vi )

r r=∑ ri× mi vi

?

r r= rC× mvC

质点系对某轴的z动量矩

r r Lz=∑M z (mi vi )= LO

[]5

z

-质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。

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刚体的动量矩计算刚体平移 对某点O的动量矩 r r r r r r r LO=∑ ri× mi vi=∑ mi ri× vC= rC× mvC 对某轴z的动量矩

r L= m (mv )z z C

平移刚体对某点(或某轴)的动量矩=刚体质心(具有刚体质量)的动量对该点(轴)的动量矩。6

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刚体的动量矩计算定轴转动刚体对转轴的动量矩r 2 Lz=∑ M z (mi vi )=∑ mi ri ω

令

J z=∑ mi r i

2

Jz -刚体对z轴的转动惯量。

Lz= J z ω 定轴转动刚体对转轴的动量矩=刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。7

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刚体的动量矩计算平面运动刚体

v Lz= M z (mvC )+ J C ω

平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩=刚体随同质心平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴转动时的动量矩之和。

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练习滑轮A:m1,R1,R1=2R2,J1滑轮B:m2,R2,J2;物体C:m3,v 3。求系统对O轴的动量矩。 解： LO= LOA+ LOB+ LOC

= J1ω1+ (J 2ω2+ m2v2 R2 )+ m3v3R2

1 Rω v 3= v 2= R 2ω 2= 2 1 1J1 J2 LO= ( 2+ 2+ m 2+ m3 ) R2 v3 R2 R29

C

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第11章动量矩定理§11–1质点和质点系的动量矩§11–2动量矩定理§11–3刚体绕定轴转动微分方程§11–4刚体对轴的转动惯量§11–5质点系相对质心的动量矩定理§11–6刚体

的平面运动微分方程

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动量矩定理质点的动量矩定理 -质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点的矩。

r r dLO d r= (r× mv ) dt dt r r dr d (mv ) r r=× mv+ r× dt dt r r r r r r r= v× mv+ r× ma= r× F= M Or r dM O (mv ) r r= M O (F ) dt11

r r r LO= M O (mv )

r r= r× mv

r r r r M O (mv )= r× mv

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质点的动量矩定理的投影式质点的动量矩定理 r r dM O (mv ) r r= M O (F ) dt 质点的动量矩定理投影式r dM x (mv )= Mx dt r dM y (mv )= My dt r dM z (mv )= Mz dt12

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质点系的动量矩定理-质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。 r r r r (i ) dM O ( m i v i ) r r ( e )= M O ( Fi )+ M O ( Fi ) dt r r r r (e ) r r (i ) dM O ( m i v i )∑ dt=∑ M O ( Fi )+∑ M O ( Fi ) r r (i ) 只适用于定点或定轴 M O ( Fi )= 0∑r r r (e ) dLO=∑ M O ( Fi ) dt13

内力不能改变质点系动量矩

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质点系动量矩定理投影式r r r (e ) dLO=∑ M O ( Fi ) dt

r (e ) dLx=∑ M x ( Fi ), dtdLy dt r (e )=∑ M y ( Fi ),

r (e ) dLz=∑ M z ( Fi ) dt

动量矩定理只适用于定点或定轴(或某些特殊点);内力不能改变质点系动量矩。14

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例11-1卷扬机如图。已知：鼓轮半径R,转动惯量J,主动力偶矩M。小车和矿石总质量m,忽略绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度a。 解：系统受力及运动分析如图。 系统对O轴动量矩O

Fy

LO= Jω+ mvR 系统外力对O轴的矩mg

Fx

P1

M O ( F ( e ) )= M mg sinθ R∑ 由动量矩定理dLO d( Jω+ mvR)== M mg sinθ R dt dt15

代入

v dvω=,=a R dt

MR mgR 2 sinθ a= J+ mR 2

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例11-2塔轮如图，由两个均质圆盘固连在一起。已知：总质量m,对水平O轴的转动惯量JO,重物A,B的质量分别为m1和m2。忽略绳的质量及各处摩擦。求重物A下降的加速度和轴承O处的反力。