清华微积分(高等数学)课件第七讲 导数与微分(三)

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作业P68 习题3.2 13(5). 14(6). 15(2). 16(3). P73 习题3.3 4(1). 5(5). 7(4). 9. P78 习题: 5(5) (6) (8). 6(3). 7. 8. 复习P60—P782012-10-4 1

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第七讲

导数与微分(三)

一、导数与微分的运算法则 (续) 二、高阶导数2012-10-4 2

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一、导数与微分运算法则1. 四则运算求导法则 2. 复合函数求导法则 3. 反函数求导法 4. 隐函数求导法

5. 参数方程求导法6. 对数微分法2012-10-4 3

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5. 参数方程求导法( 1 ) 参数方程

x a cos t [ 例 1 ] 椭圆： y b sin t

t [ 0 , 2 ]

x a ( t sin t ) [ 例 2 ] 摆线： y a ( 1 cos t )a 2012-10-4

,a 0

2 a

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[ 例 3 ] 星形线：

x a cos 3 t 3 y a sin t

t [ 0 , 2 ]

内旋轮线

a

2

2

2

隐函数方程： x 3 y 3 a 3 , a 02012-10-4 5

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(2) 参数方程求导法设函数 y f ( x ) 由参数方程： x (t) y (t)1

0

0

2

确定设 ( t ), ( t ) 都存在 , 且 ( t ) 0 , x ( t ) 存在可导的反函数如何求2012-10-4

t

1

( x ).

dy dx

?6

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分析函数关系:y (t )

x (t )

t

1

(x)

y 通过 t 成为 x 的复合函数

y [

1

( x )]

利用复合函数和反函数微分法, 得dy dx 2012-10-4 dy dt dt dx dy dt dx dt

( t ) ( t )7

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[ 例 9 ] 求椭圆：在t

4

x a cos t y b sin t.a 2

t [ 0 , 2 ]

处的切线方程

[解]当t

4

时 , x a cos

4

, y b sin

4

b 2

切点 : M 0 (切线斜率 :

a 2

,

a 2

)dy dxt 48

k tan

2012-10-4

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dy dx

( t ) ( t )dy dx

b cos t a sin t

b a

cot t

k

t 4

b cos a sin

4

4

b a

切线方程

: y

b 2

b a

(x

a 2

)

即2012-10-4

y

b a

x

2b9

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6. 对数微分法求幂指函数 f ( x ) u( x )v ( x ) ln u ( x )v( x)

的导数

方法一:

f (x) e

再应用复合函数微分法(链式法则)方法二: 利用对数微分法[ln f ( x ) ] f ( x ) f (x)

f ( x ) f ( x )[ln f ( x ) ] 2012-10-4 10

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[ 例 1 ] 求幂指函数

y (sin x )

cos x

的导数

y

[解] 两边取对数, 得ln y cos x ln(sin x )两边对 x 求导 , 得到

对数微分法

1 y

y ( sin x ) ln(sin x ) cos x

cos x sin x

解出 y , 得

y (sin x )2012-10-4

cos x

[

cos

2

x

sin x ln(sin x )]11

sin x

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[例 2 ] 设 y

( x 1 )( x 2 )3

( x 3 )( x 4 )

, 求 y

[解]ln y 1 3 [ln( x 1 ) ln( x 2 ) ln( x 3 ) ln( x 4 )]

y y

1 3

[

1 x 1

1 x 2

1 x 3

1 x 4

]

y y (ln y ) 13

( x 1 )( x

2 )

32012-10-4

( x 3 )( x 4 ) x 1

(

1

1 x 2

1 x 3

1 x 412

)

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[例3] 证明星形线

x y a

2 3

2 3

2 3

上任一点处的切线介于 间的线段长度等于常数

两坐标轴之 。

[解] 求切线斜率2 3 x 1 3

2 3

y

1 3

y 0

y

3 3

y x

(x,y)处切线方程：Y y 2012-10-4

3 3

y x

(X x)13

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化为截距式Y3

x X

3

y X

3

xy ( x y ) Y3

2 3

2 3

3

xy a

2 3

12

3

a x

2

a y

线段长度：l 2012-10-4

( a x) ( a y) 3 2 2 3 2 2

a a2

常数14

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微分的简单应用

— 近似计算

当 x 1时 , 有 y dy

即

f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x或 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 )

当 x 0 0时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x2012-10-4 15

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例[解]

求 cos 60 1 2 的近似值

cos 60 1 2 cos(

3

12

)

60 180

cos(

3

12 10800

)

令 f ( x ) cos x ,

x0

3

x x x0 2012-10-4

12 1080016