东北大学2013年第一学期期末考试高数答案

2012~2013学年度第一学期东北大学期末考试试卷答案

高等数学答案

2013.1

一、单项选择题（每题4分，共20分）

1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 二、填空题（每题4分，共20分）

1.1

2. , ln2 3.2xsinx4dx 4.y e

5x

1 2

C1 C2x

5.4

三、计算题（每题6分，共18分）

1.lim

x

lnsinx

2

2x 2

2

lim

x

ln 1 sinx 1

2

2x

2

lim

x

sinx 1

2

2x 2

lim

x

2

cosx

2 2x 21 sinx1 lim

4x 28

3dy acosx 3asin2tcostsint2. tant2

dx3acostsintcost 3

asinx d2yd dy sec2tsec4t csct 2 dxdx dx 3acos2tsint3a

y x 3.1 e

2

2

3分

3分

2

cosx x 2x 1 y 1

2

e y x y 1 e y x 2x 1 cos x2 x y e

y x

2

1 e

y

2

y x

2

2x 1 cos x2 x

x 0时，0 et 0

1

et 0

1

y

2

dy

dx

x 0

dydx

1

x 0y 1

四、计算下列积分（本大题含2个小题，每小题6分，共12分）

111

1.x2 xsin2x cos2x C4482.

4

1

五、讨论题（8分）

定义域为 ， 1

由y 2x

0，

1 3

,y 2 2x 0得x 1, 1,0 为拐点2

x

1 x 1,y 0;x 1,y 0 1及0， 上是凹的，0上是凸的2曲线在 ， 1， 2

3 lim x x 0

1

lim x2 ，无水平渐近线x x

1x2

，无斜渐近线 lim

x x

1

,x 0是垂直渐近线x

六、应用题（8分）

2 r2gh kJ

七、综合题（8分） f x 7x 6x

3

2

八、证明题（6分） （1）要证x0f x0

1

x0

f t dt，需证x0f x0 f t dt 0

x0

1

构造辅助函数F x x

f t dt

x

1

f x 0，且f x C 0,1

所以F x 在 0,1 连续，且 0,1 可导

又F 0 0 F 1

由罗尔定理 x0 0,1 使F x0 0 所以F x （2）令 x

1

f t dt xf x 0

x0

1

f t dt xf x ，则

x

x f x f x xf x 2f x xf x f x

2f x

x

即x0在 0,1 单减，由x0的存在性，（1）中x0唯一