信号与系统ch06-(4)

Singas&l ySstes信号与系统

第六m章离系统散的z域分(析)4主讲魏：广芬称职副教授：院系：息与电子工信学程院eegnikoweg@ito.mocm

iSngls a& ySsemst主内要容§ 61 .变z换§.2 6z换的性变§质63 .逆变z换 6.§ 4域z分析

Sigalns&ysSemst

§6.4

z域分析、差分方一的z域解程二、系统函数三、系的统z域框四、s域图z域与的系关、五助借TDFT求离系散的统频响应

率Si

gnlas& yStsems

、差一分方的程域解解z差方分程时域差分方程z换变时域响y应[]k z反变换z代数方程域解代数方程

z响域Y应z)(

S

gniasl&S sytems一、差分方的z域解程∑a

=i0

nn i

y k ( i )=∑bm jf k( j )j=0 ii 1 i mm

单边变换zan i[ z ( z Y)+∑ yk (i z )]= b∑ mj[ z j F ( )]∑z i=0k=0 j=0

nf设k)(在=k0时接，入统系始初态为y状(-1,y(-))2,y(-…n。)[∑ an iz Y (] )z∑+a n i[∑ y k( i ) z=]∑( b m j z j) F ( z ) i ki=0i=0k= 0=j n n0 i m1

(z)A

-M(z)B()z

(M z)B( z )Y (z )=+ F ( )= Yzzi( z+ Y)s z( z) A( z ) A (z)

(ky)= zyi k( )+ y z s( k)

Sgnila&sSyst mes例1:某系若统的分差方为程y k)–(y ( k– 1)– 2y k(– 2 ) f(k=+)f2k– ()2已知 y (–)=12y,(– 2= )–/2,f1k)=ε(k)(求系。的统ziy()k、 yz(s)k、yk)(。解:方程单边取变z换Y()-[z-1Y(z)z+(y1-]-2[)-z2Y(z+)(y-2)+y-1)z-1(=F]z)+(2z-F2z)解(得(1 2+z 1 ) (y )+12 y ( 2 ) 1+ 2 z Y 2z( )+= Fz() 1 21 1 2z z21 z 2 z2+ 4zz z+ 2 2z= 2+2 zz 2 z z 2z 1

z + 24z 2z z Y z ( z )i==+ →y i (k )z=[2( 2) k ( 1 )k]ε( ) ( z k )(2z+ )1z z+2 1Yzs ( z ) 2=z 1 3z z1 3+ → y zs ( ) k=[ 2k 1++( 1 k) ε](k )z 22 z+ 12z 1 22

igSnla&sS syetms

例：若某2统系的差分方为程y (k )4+ (ky– 1)+ 3 (ky– 2 )=4(kf)2+fk(–1已知y(0))=9,y(1=– 3)3,f()k= (-)2ε(kk)求系。统yz的i(k、 )ys(zk)、yk)。(

:解零状设态方，程z变换取Yz(zs)4+-zY1sz()z3z+-2zYsz)(4=F()+2z-zF(z1 )得4解+ 2 z 41z+22 zz Yzs ( z )= F z) (=2 1 2 1+ 4+ 3z z z+4z+3 z+ 2zYs ( z) 11 2 1 5= + zz+ z 1+ 2+z 3zzz 1+ 12→5y sz (k)=[ () k1 1( 22) k 15+ (3 )k]ε (k z) 1 z++2 z3+

zs ( Yz )=y z s0()=,4 yz s1()= 22

Sgnalsi&S ytemss例2:某系若的统差分方程为y () k4 y+(– k) 1+3(k y–2 )=4 (k)f2+fk(–1)已 y(知)=0,9y1(= )–33f(k,= )(2)-ε(k)k求。系的yz统ik()、yzs k()、yk()。

解续() y:z i( )0=y (0) y sz 0()=

y zi 51)(=y( 1 ) y z s1)=( 11

由方于的特程征为-1根,- 3,设零故输入应为响y iz ( k)= Czi1( 1 ) k+ Cz i 2 3()k所以Cz i1=2, Cz i2=3yi zk()= 2([ 1)k+ 3( 3) k]ε k )(yk( )=y z ik

()+ ysz k )(=[3 (1) k 12( 2 k )+ 1( 83) kε] ( )k

Sgnial s&Sy setms

3:例某系若的统差分方程为 y6k( )- 5yk ( 1)–+ y(– 2k= )fk)已(知(y-1)=,y6(-)=2–2,f0k)= (1c0s(kπo2)/(k)ε求。(y)k。解：方取程边z变换单6Y ()-z5z[-1Y(z)+y-1(])[z+-2(Yz+y)-(2)y(+1-)-1z]F=(z)得解( 5z 1 ) y( 1 ) y( ) 2 1Y( z= ) (Fz) 1+ 2 12 6 z5+ z6 5z +z z 21 z 2 0 01z 2+ 6 z= 2+ 2 6 z 5 z 1+ 6 z 5z 1 z+2 1+8 z z 2+ z3 1 z + z+ z+= 1 113 1 z 21+z z z z 23 32

Sinalsg S&styesm例3解续8 z z1z 2+z zz + + 3+2Y ( ) z= 1 1 z 13z 1z+1 z z 23 23

自Y(z由)

强迫(Y)

1 z81 1 1 kπ 1π y(k) =([) k ( ) k + ()k ( ) k+ 2 oc( )sε]( k )2 3 23 3 32 4

由响应自瞬响应态强响迫应态稳应响

Sgnilsa& S stymes

二系统函数、∑

ai 0n= i i=

n

n0 i

y (k i =)∑bm j f (k j)j=0n i k 1m

[m∑ a n iz Y](z )+∑ a n i[∑y ( k ) iz]=(∑ bm j z j ) F( zi) 0 k== 0j=0

(Az)B(z)

B(z) Yzs (z )= Fz) A((z)Ys z (z) B( z )=令 H( z)= F( )z ( zA)称为统函数系h(k←)H→z()

Sinags&lS sytesm

4例：若某系的差分方统程1为1 y ( ) k y ( k ) 1 y ( k 2 )=f ( k)+ f2( k 1) 6 6求系的统单序列响应h位()。k解:零状态设，程方取z换变zs Y( z) 1 1 1 z Y sz z () z Yzs2( z )=F ( )z+ 2 z 1 ( Fz ) 66

解得Yzs ( z z )2+z 21+2 z 1==2 1 H(z)= 1 1 1 2 ( z) 1 F 6z z6z 6z 16 z 2 +z 23z z 2H z( )==+ (z 1 ( ) z+ )1 ( z 1 )( z 1 )+2 3 231 k 1 kh k ()=3([ ) 2 )(]ε ( k ) 2

3

iSnags&l Ssytme

s5例：某系，已统知当入输(f)k=– 1(/2)kε()时，k零状其态响 3应 1k 1 k9 1kyzs ( k= )[( )+4( ) ( )]ε ( k) 3 2 222

系求的统位单序列响h(k)和描述系应统差的分方程。解 Yzs (z )z2+ 2 z z23z H( )==z=+ ( Fz) 2z 1 z 1 z 1z+ 1 6 2 63hk()=[(13/2k )–2(–1/)k]ε(k)31 z 1Ysz ( z) Yzzs ( ) z Yz s( z )=z 2F ( z)+ 2 zF ( )z 66 11 21Y zs (z ) z Yzs ( z) zYz s z )(= F z( ) 2 z+ 1 F( z )6 6 1 1y (k )y ( k 1) y (k 2) = (k ) f+ f2(k 1) 662

Sigalns& Syst esm三、系统z域框图的Df (k) (fk 1-)Fz)(1z1 F( ) zz

(-1)f1

zΣz-1(Fz+)f(1-)另外两个基单元本数乘：和加法器，k器域和域z框图同。

相例：某系的统域k框图图，已知如入f(输)=kε( k。()1)求系统的单序列位应h响k()和状态响零应yzs()。k2)(若 (y1-)=0y,(-2=).05,零求输入响应yz(k)i∑

S1ginla&s SsyemstX()3zzD1

z-1(X)z

z31

FDz)(解:1(画z)框域图

f (k)

z2X(-z)

∑Ys(zz)

(k)y2

设中间变X量(z)X z() 1 1 =z3+ 2z 1 2

Xz(=3)z1X-

(z )–z2-2Xz()+F(z) (Fz )Yzs(z)X(z)= 3–z-X1z()= 1(–z-13)(zX)

Sgnila& sSytsems

Ysz ( z )=

1 3z 1 13 z

1+2 z 2

F( z)z2 3 z1 z 3 21z z H ( z= )= 2=+ 1 2 z z 3 2+z 1 z 2 1 3 z+2 zh(k= ) 2[– 2()]k(kε )f当(k)ε(=)k,F(时z=)z/(z1-) zz 2( z 3) 2z 3z 2z Ys ( zz ) 2 ===++ 22 z 1 z 2 z 3z+ z 2 1 ( z 1) ( z 2 ) (z 1) z 2 z3ysz()=[ kk2+ 3–2 ()2]εk(k)