2012年全国初中数学竞赛预赛和复赛试题及答案

2012年全国初中数学竞赛预赛和复赛试题及答案

2012年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2 【答】A．

解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．

2．已知一次函数y (m 1)x (m 1)的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】

（A）m 1 （B）m 1 （C）m 1 （D）m 1 【答】C．

解：一次函数y (m 1)x (m 1)的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x

m 1．

D D A AB，给出下列三个 3．如图，在⊙O中，C

m 1 0,

的增大而增大，所以

m 1 0.

解得

结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30° 时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【 】

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答】D．

D AB，解：因为C所以DC=AB；因为 AO是半径,所以AO⊥BD；AD AB，

第3题图

设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：2(x 30 ) x 180 ，解得

x 80 ．

4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】

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（A）

34

（B）

23

（C） （D）

3

112

【答】B．

解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是

46 23

.

5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是( 3, 3)，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共 有【 】

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 【答】D．

解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB 的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求

出OC1=OC2

，可得C1(0,26),C2(0, 26)， 以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4， 可得C3(0,1),C4(0, 7)，AB的中垂线交y轴于点C5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,

176)．

第5题图

6．已知二次函数y 2x2 bx 1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】

（A）y 2x2 1 （B）y

1214

y

x 1

2

O x

（C）y 4x2 1 （D）y 【答】A．

x 1

2

第6题图

b8 b2解：y 2x bx 1的顶点坐标是 4,8

22

b8 b ，设x ，y ，由 84

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x

b4

得b 4x，所以y

8 b8

2

8 ( 4x)

8

2

2

1 2x．

二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）

7．若m n 2，则2m2 4mn 2n2 1的值为 【答】7．

解：2m2 4mn 2n2 1 2(m n)2 1 2 22 1 7． 8．方程

1(x 1)(x 2)

1(x 2)(x 3)

23

的解是 ．

【答】x1 0,x2 4． 解：

1(x 1)(x 2)1x 12(x 1)(x 3)

1(x 2)(x 3)

2

1x 1

1x 2

1x 2

1x 3

1x 3

(x 1)(x 3)

.

∴

23

，解得 x1 0,x2 4.

第9题图

9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），

若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转 90°得到线段BA ，则点A 的坐标是 【答】(b 1, a 1)． 解：分别过点

A、A 作

x轴的垂线，垂足分别

为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BA D． 由于点A的

坐标是(a,b)，所以OD OB BD OB AC 1 b，A D BC a 1，所以点的A 坐标是(b 1, a 1)．

E是以点A为圆心210．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，D

B是以点M为圆心2为半径的圆弧，为半径的圆弧，N则图中两段弧之间的

11

44

阴影部分的面积为 ． 【答】2．

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解：连接MN，显然将扇形AED向右平移 可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND的面积，等于1 2 2．

11．已知α、β是方程x2 2x 1 0的两根，则 3 5 10的值为． 【答】 2．

解：∵α是方程x2 2x 1 0的根，∴ 2 1 2 ． ∴ 3 2 (1 2 ) 2 2 2(1 2 ) 5 2， 又 ∵ 2,

∴ 3 5 10 (5 2) 5 10 5( ) 8=5 ( 2) 8 2． 12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36．

解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x 1≤145，解得x≤36，所以小朋友的人数最多有36个．

三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分） 13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？

解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： 2分

（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000 10x y，依题意，得 201 2

整理，得

y

(20 00x 1y0

,

) 2 x0， y

10 11x

2

x、y均为0 ~ 9的整数，

∴x 0. 此时y 5.

∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁． 8分

（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900 10x y，依

2题意，得 201

(19 00x 1y0 )

1 x9， y

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整理，得 11x 102 2y，故x为偶数，又y ∴

7711

≤x≤9,

102 11x

2

,0≤

102 11x

2

≤9,

∴ x 8. 此时y 7.

∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． 14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁． 15分

14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是(0,3)，设直线PQ的解析式为y kx b．

（1）求k的取值范围；

（2）当k为取值范围内的最大整数时， …… 此处隐藏：8210字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……