第三章 平面力偶系

理论力学平面力偶系

理论力学平面力偶系

第三章 力矩与平面力偶理论 §3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡

理论力学平面力偶系

§3-1 力对点之矩力对物体作用 移动—力的三要素 移动 力的三要素 转动— 转动 ? 力对点之矩

A

一 力对点之矩 1 定义 力使物体绕某定点产生转动 定义：力使物体绕某定点产生转动 效应的度量

r FB O

d3

理论力学平面力偶系

一 力对点之矩 力矩三要素： 力矩三要素： 大小 转向 作用面力臂

A 平面中代数量表示

r FB O

2 表示 M O ( F ) = ± F d 表示：矩心

d

3 正负规定 正负规定：

+

-

理论力学平面力偶系

说明： 说明： ① M O (F ) 是影响转动的独立因素 ② M O (F ) = 2S⊿AOB = Fd

二 力矩的性质 1 力矩取决于力 的大小，也取决于矩心的位置； 力矩取决于力F的大小 也取决于矩心的位置； 的大小， 2 力矩不因力沿其作用线移动改变； 力矩不因力沿其作用线移动改变； 3 力矩为零：力F=0或力 过矩心； 力矩为零： 或力F过矩心 或力 过矩心； 4 互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零。 互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零。

理论力学平面力偶系

三 合力矩定理

力矩性质之一

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩， 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于所有各分力 对同一点之矩的代数和。 对同一点之矩的代数和。 n r M O ( F R ) = ∑ M O ( Fi )i =1

[证] 由合力投影定理有 证

od=ob+ocM o ( F1 ) =2 oAB=oA ob M o ( F2 ) = 2 oAC = oA oc r M o ( FR ) = 2 oAD = oA od6

又∵

r FR

r 现 m o ( FR ) = m o ( F1 ) + m o ( F2 ) 证毕

理论力学平面力偶系

力矩与合力矩的解析表达式

r r s M O (F ) = M O (F y ) M O (F x ) = x F sin θ y F cos θ = x F y y F xr M O (F R ) =

∑

r M O (F i )

r M O (F R ) =

∑ (x i F iy y i F ix )

Fy

Fx

理论力学平面力偶系

M [例1] 已知：如图 F、Q、l, 求： O (F ) 和 Mo (Q) 例 已知： 、 、

解：①应用力矩定义

l MO (F ) = F d = F sinα Mo (Q) = Q l②应用合力矩定理

MO (F ) = Fx l + Fy lctgα = F sinα l + F cosα lctgαMo (Q) = Q l8

理论力学平面力偶系

[例2] 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N, 例

α = 30o ,求：力F 对A、B、C三点之矩。

dAA

解：1)由定义求对A、C点之矩 r dC αC

r F FY

m A ( F ) = Fd A = F AD sin 30 o

FXD

= 22 5 N m r mC ( F ) = Fd C = F CD sin 30 o = 7 5 N m r m B ( F ) = Fx AB Fy AD =

B

2)由合力矩定理 求对B点的矩

F cos 30 AB F sin 30 ADo o

= 48 .48 N m

理论力学平面力偶系

§3-2 力偶与力偶矩一 力偶 1 实例：方向盘、水龙头、钥匙、丝锥 实例：方向盘、水龙头、钥匙、 2 定义 定义: 一对等值、反向、 一对等值、反向、作用线相互平行的力 v v' 3 表示: F

, F 表示

(

)

4 相关概念： 相关概念： 力偶作用面 力偶臂 研究力偶对物体的作用效应？如何度量？ 研究力偶对物体的作用效应？如何度量？10

理论力学平面力偶系

二 力偶矩 1 定义：力偶对物体的转动效应的度量。 定义：力偶对物体的转动效应的度量。 力偶矩三要素： 力偶矩三要素： 大小 方向 作用面 平面问题

v v' 2 表示：M F , F = ± Fd 表示：3 正负规定：逆正顺负 正负规定：

(

)

+

理论力学平面力偶系

三 平面力偶性质 性质1:力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 性质 ：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能与力偶平衡 力 力偶

性质2:力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩， 性质 ：力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与 矩心的位置无关。 力偶对物体的效应用力偶矩来度量 矩心的位置无关。 的位置无关

= F (d + x1 ) F x1 = Fd力矩

M O1

(

r r r r F , F ′ = M O1 F + M O1 F ′

)

( )

( )

M O (F ) 力偶矩 M

理论力学平面力偶系

§3-3 力偶的等效一 平面力偶等效定理 性质之一

作用在同一平面内的两个力偶， 相等， 作用在同一平面内的两个力偶，只要二者力偶矩 大小 相等， 等效。 则该两个力偶 等效。 二 推论 1(只要保持力偶矩不变),力偶可以在其作用面内任意移 (只要保持力偶矩不变),力偶可以在其作用面内任意移 ), 动，而不影响它对刚体的作用效应。 而不影响它对刚体的作用效应。 2 (只要保持力偶矩不变),可以任意改变力偶中力的大 只要保持力偶矩不变) 小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。 小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。13

转向

理论力学平面力偶系

=

=

=

=14

理论力学平面力偶系

F=3N d=6m d=2m M=18Nm F=9N

理论力学平面力偶系

§3-4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在同一平面的许多力偶 一 平面力偶系 作用在同一平面的许多力偶 二 平面力偶系合成 1 两个力偶FRB

dFRA

d

M

1

= F1d 1

M1 = P d 1M 2 = P2′d

M 2 = F2 d 2

FRA = P P2' 1 FRB = P ' P2 116

合力偶矩 M = FRA d = (P P' )d = Pd P'd = M1 + M2 1 2 1 2