高中数学有关导数的练习题

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2013届高三数学一轮巩固与练习----导数及其应用

π1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝2k1，k2，

则k1，k2的大小关系为( )

A．k1>k2 B．k1<k2

C．k1＝k2 D．不确定

解析：选A.∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，

πk1＝cos0＝1，k2＝20，∴k1>k2.

2．设y＝－2exsinx，则y′等于( )

A．－2excosx B．－2exsinx

C．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)

解析：选D.∵y＝－2exsinx，

∴y′＝(－2ex)′sinx＋(－2ex)·(sinx)′

＝－2exsinx－2excosx

＝－2ex(sinx＋cosx)．

27x3．已知m<0，f(x)＝mx3＋mf′(1)≥－18，则实数m等于

( )

A．－9 B．－3

C．3 D．9

2727解析：选

B.由于f′(x)＝3mx2＋m故f′(1)≥－18 3m＋m≥

27－18，由

m<0得3mm≥－183m2＋18m＋27≤03(m＋3)2≤0，

故m＝－3.

4．(2009年高考福建卷)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

1解析：f′(x)＝2ax＋x，x∈(0，＋∞)． ∵f(x)存在垂直于y轴的切线，

1∴f′(x)＝0有解，即2ax＋x0在(0，＋∞)有解，

1∴a＝－2x，∴a∈(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

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5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处

的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)

＝________.

解析：易得切点P(5,3)，

∴f(5)＝3，k＝－1，

即f′(5)＝－1.

∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.

答案：2

6．若曲线y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值．

解：∵曲线y＝x3－2ax2＋2ax，

∴该曲线上任意点处切线的斜率k＝y′＝3x2－4ax＋2a.

又∵切线的倾斜角都是锐角，

∴k>0恒成立，即3x2－4ax＋2a>0恒成立．

∴Δ＝(－4a)2－4×3×2a＝16a2－24a<0，

3∴0<a<2.

又∵a∈Z，∴a＝1.

练习

1．已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为( )

A．1－cos1 B．1＋cos1

C．cos1－1 D．－1－cos1

1解析：选B.因为f′(x)＝cosx＋xf′(1)＝cos1＋1.

132．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝332－2＋2t，那么速度为零的时刻是( )

A．0秒 B．1秒末

C．2秒末 D．1秒末和2秒末

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1332解析：选D.∵s＝3t－2t＋2t，

∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，

令v＝0得，t2－3t＋2＝0，解得t1＝1，t2＝2.

3．下列求导数运算正确的是( )

111A．(x＋x′＝1＋x B．(log2x)′＝xln2

C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx

11解析：选B.(x＋x)′＝1－xA错；

(3x)′＝3xln3，C错；

(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx，D错；

故选B.

4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则

其导函数f′(x)的图象大致形状是( )

解析：选B.设二次函数为y＝ax＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，

又∵a<0，故选B.

1155．曲线y＝3x3＋22在点T(1，6处的切线与两坐标轴围成的三

角形的面积为( ) 2

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4949A.18 B.36

4949C.72 D.144解析：选D.易知点T为切点，由f′(1)＝2，故切线方程为：y777＝2x－6，其在两坐标轴的截距分别为12，－617749成的三角形面积S＝2×12×|－6＝144sinθ33cosθ26．(2009年高考安徽卷)设函数f(x)3＋2x＋tanθ，其

5π中θ∈[0，12]，则导数f′(1)的取值范围是( )

A．[－2,2] B．[23]

C．3，2] D．[2，2]

解析：选D.∵f′(x)＝sinθ·x23cosθ·x，

π∴f′(1)＝sinθ3cosθ＝2sin(θ＋3．

5πππ3π∵θ∈[0，12，∴θ＋3[34．

π2∴sin(θ＋3∈[2，1]．

π∴2sin(θ＋3∈2，2]．

7．已知曲线C：y＝lnx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是________．

1解析：由题可解得P(1，－4)，则由y′＝x－4可得曲线C在P

处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y－(－4)＝－3(x－1)即3x＋y＋1＝0.

答案：3x＋y＋1＝0

18．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

15解析：由已知切点在切线上，所以f(1)＝2＋2＝2，切点处的导

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1数为切线的斜率，所以f′(1)＝2，所以f(1)＋f′(1)＝3.

答案：3

139．下列图象中，有一个是函数f(x)＝3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，

a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.

解析：∵f′(x)＝x＋2ax＋(a－1)，

∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f′(0)＝0，

且－a>0，

∴a＝－1.

11故f(－1)＝－31＋13. 1答案：－310．求下列函数的导数： 1lnx(1)y＝(1x)(1＋；(2)y＝x； x

(3)y＝tanx;(4)y=xe1-cosx. 1111解：(1)∵y＝(1x)(1＋＝－x＝x－2x2， xx

111311∴y′＝(x－2)′－(x2′＝－2－2－2－2.

1x－lnx(lnx)′x－x′lnxx1－lnxlnx(2)y′＝(x)′＝x＝x. x(sinx)′cosx－sinx(cosx)′sinx(3)y′＝(cosx)′＝ cosx22

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cosxcosx－sinx(－sinx)1＝＝cosx. cosx

(4)y′=( xe1-cosx) ′=e1-cosx+x(e1-cosx) ′

=e1-cosx+x[e1-cosx·（1-cosx）′]

=e1-cosx+xe1-cosx·sinx

=(1+xsinx) e1-cosx.

11.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

解：(1)由f(x)＝x3－3x得，f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－

2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，

∴所求直线方程为y＝－2；

(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x02－3.

又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，

y0－(－2)x03－3x0＋2故其斜率可表示为 x0－1x0－1

x03－3x0＋2又3x02－3， x0－1

即x03－3x0＋2＝3(x02－1)·(x0－1)，

1解得x0＝1(舍)或x0＝－2

19故所求直线的斜率为k＝3×(41)4，

9∴y－(－2)＝－4(x－1)，即9x＋4y－1＝0.

b12．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)＝ax－x，曲线y＝f(x)

在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解 …… 此处隐藏：7167字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……