2015误差理论与数据处理第五章

误差理论与数据处理, 费业泰, 第六版

第五章 参数的最小二乘法估计

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关于最小二乘法

数学工具

↙ ↓参数估计

↘回归分析

数据处理

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最小二乘法典型应用 算术平均值，依据使残差的平方和 为最小的原则 组合测量的问题 拟合经验公式等

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最小二乘法发展 200多年的历史； 天文和大地测量； 近代矩阵理论与电子计算机 经典的最小二乘法及其在组合测 量的应用 深入的内容可参阅专门的书籍和 文献

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主要内容

最小二乘法原理 线性测量方程组中参数的最小 二乘法估计 非线性测量方程组中参数的最 小二乘法估计 组合测量

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第一节 最小二乘法原理

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从一组测量值中寻找最可信赖值

x

x1, x2 , , xn 1, 2 , , nv 1 pi exp( 2 )dx 2 i i 2 2 i

xi ∝ xi , xi dx

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f (x)

_

3

+3

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测得值

x1 , x2 , , xn

同时出现的概率为最可信赖值；P 为最大；式中 负指数中因子 达最小2 i 2

2 1 1 vi n P pi exp ( dx ) n 2 i ( 2 ) i i i i

最可信赖值满足

i

vi22 i

Min

wi 1 i2微分法得 最可信赖 值

wv

2 i i

Min w xi 1 n i n i

v (x x ) Minii

x

wi 1

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小结 最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的 意义下求得的，称之为最小二乘法原理。 从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。 例如

(1)最小绝对残差和法： (2)最小最大残差法： (3)最小广义极差法：

v

i

Min

max vi Min

maxvi minvi Min

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主要内容

最小二乘法原理 线性测量方程组中参数的最小 二乘法估计 非线性测量方程组中参数的最 小二乘法估计 组合测量

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第二节 线性测量方程组中参数的 最小二乘法估计

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第二节 线性测量方程组中参数 的最小二乘法估计 先举一个实际遇到的测量问题，为精 密测定三个电容值: x1 , x2 , x3 采用的测量方案是，分别等权、独立 测得 x1, x2 , x1 x3 , x2 x3 , 列出待解的数学模型。这是一个组合 测量的问题。

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第二节 线性测量方程组中参数 的最小二乘法估计组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值， 从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被 测量的最佳估计值。如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量x1y1

x2y3 y2 0.3 ( y1 )

x3

待求量 测得值为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目

y4

待解的数学模型

x1 x2 x1

0.4 ( y2 )

x3 0.5 ( y3 ) x2 x3 0.3 ( y4 )

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第二节 线性测量方程组中参数 的最小二乘法估计这是一个超定方程组，即方程个数

多于待求量个数，不存在唯一的确 定解，事实上，考虑到测量有误差， 记它们的测量误差分别 为 v1 , v2 , v3 , v4 ,按最小二乘法 原理

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第二节 线性测量方程组中参数 的最小二乘法估计 2 vi Min 分别对 x , x , x 求偏导数，令1 2 3

它们等于零，得如下的确定性方程组。(x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0 (x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0 (x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0 可求出唯一解 x1=0.325, x2=-0.425, x3=0.150